§15. Уравнение движения в форме Гейзенберга. Интегралы движения

 Литература: [1], [3].

Уравнения движения в форме Гейзенберга позволяют судить об изменении той или иной величины непосредственно, без предварительного нахождения амплитуды состояния. Они учитывают то обстоятельство, что представляющая интерес величина может вообще не иметь определенного значения. Поэтому с их помощью находится изменение со временем среднего значения величины.

Вводится оператор  производной величины F по времени такой, что для любого состояния |>

<> <||> = <F>  <||>. (15.1)

Именно этот оператор и удовлетворяет уравнению движения в форме Гейзенберга: ==+ {, }, (15.2)

где {, } = [, ] = [ – ] – (15.3)

квантовые скобки Пуассона.

Уравнение (15.2) отражает то обстоятельство, что изменение среднего значения <F> величины F может происходить вследствие изменения со временем вида самого оператора, а также вследствие перераспределения величины F по ее возможным значениям.

Величина F, для которой = 0, называетсяинтегралом движения.

Для того чтобы величина F была интегралом движения, достаточно, чтобы ее оператор явно не зависел от времени и чтобы он коммутировал с оператором Гамильтона.

? Контрольные вопросы

1. Что имеют общего и чем отличаются друг от друга уравнения движения в форме Шредингера и в форме Гейзенберга?

2. Какой смысл имеет оператор производной физической величины по времени?

3. Какой смысл имеет каждое слагаемое в правой части уравнения (15.2)?

4. Что имеют общего и чем отличаются друг от друга интегралы движения в квантовой механике и в классической физике?

5. Как узнать, является ли та или иная величина в определенных условиях интегралом движения или нет? Приведите примеры.



Задания

1. Докажите следующие операторные равенства:

( + ) = + ; ( ) = + .

2. Какие из механических величин (E, P_x, P_y P_z) сохраняются при движении частицы: а) в отсутствии поля; б) в поле с потенциальной функцией U = a z?

3. Покажите, что в центральном поле квадрат момента импульса L² и его проекция L_z являются интегралами движения. Оператор в сферических координатах имеет вид (22.3), а = – i ħ .

§16. Переход от квантовых уравнений движения к классическим

 Литература: [1], [3].

Уравнения движения в форме Гейзенберга позволяют наглядно и детально проследить переход от квантовой механики к классической физике, который имеет место, когда величина ħ становится пренебрежимо малой.

Запишем уравнения Гейзенберга для радиус-вектора частицы и ее импульса : = {, }; = {, }. (16.1)

Точно такими же по форме оказываются классические уравнения Гамильтона, выраженные через скобки Пуассона, если в формуле (16.1) опустить значки операторов и скобки Пуассона считать классическими. Эта аналогия имеет глубокий смысл. Она не сводится к одинаковым обозначениям и похожим названиям разных объектов: «квантовые скобки Пуассона» и «классические скобки Пуассона». В этом можно убедиться, если раскрыть скобки Пуассона. Тогда уравнения (16.1) преобразуются к виду

=;=, (16.2)

где m – масса частицы, = –U, а U – потенциальная функция. Уравнения (16.2) без значков операторов – знакомая даже из физики средней школы пара уравнений Гамильтона, правда, без такого названия. Видим, что уравнения движения в форме Гейзенберга согласуются с общим правилом, по которому операторы величин в квантовой механике связаны такими же соотношениями, как и соответствующие им величины в классической физике.

Если равны операторы, то равны и соответствующие им средние значения. Поэтому из (16.2) получаются равенства:

<> = <> / m ; <> = <>, (16.3)

выражающие теоремы Эренфеста: соотношения классической механики между скоростью, импульсом и силой справедливы в случае микрочастиц для средних значений этих величин.

Если бы все другие связи между величинами можно было перенести на их средние значения, то квантовая механика превратилась бы в классическую механику для средних значений. Так можно было бы поступить, если бы функциональные зависимости, в частности, для силы () и для кинетической энергии T() можно было отнести к средним значениям соответствующих величин, то есть:

< () > = (<>) , < T() > = T(<>) . (16.4)

Принимая во внимание процедуру усреднения, трудно ожидать, вообще говоря, справедливости равенств (16.4). Однако их можно рассматривать при определенных условиях как некоторые приближения.

Посмотрим, при каких условиях приближения (16.4) возможны. Ограничимся одномерным случаем. Разложим операторные функции в степенные ряды в окрестности средних значений:

()  (x) = F(<x>) + + ² + … , (16.5)

()  () = T(<>) + + ² + … . (16.6)

Взяв соответствующие операторам (16.5) и (16.6) средние значения и принимая во внимание, что <x> = 0 и <p_x> = 0, приходим к выводу, что равенства (16.4) приближенно имеют место, если

 ² << F(<x>) и ² << T(<>). (16.7)

Условия (16.7) можно упростить, если привлечь соотношение неопределенностей Гейзенберга ²²  ħ² / 4. Учтем также, что T = p_x² / (2 m)  = 1 / m. Тогда получим вместо (16.7) неравенство

m T  >> . (16.8)

При выполнении этого неравенства можно пользоваться классической физикой, отождествляя значения переменных с их средними значениями.