§13. Спин

 Литература: [1], [8], [3], [6].

В отличие от классических частиц микрообъекты могут обладать отличным от нуля моментом импульса, даже если их импульс равен нулю. Момент импульса, не зависящий от импульса, получил название спинового момента, или спина. Гипотезу о наличии спина у электронов выдвинули в 1925 году С. Гаудсмит (1902–1979) и Дж. Уленбек (1900–1988) для объяснения дублетности спектральных линий щелочных металлов.

Экспериментальным доказательством наличия спина является обнаружение в опытах Штерна и Герлаха раздвоения в неоднородном магнитном поле атомарного пучка, состоящего из атомов с нулевым орбитальным моментом, на две части.

Правила квантования орбитального момента (12.4) распространяются и на спиновые моменты с изменением обозначений:

S² = ħ² s (s+1), S_z = ħ , (13.1)

где s = 1/2– спиновое квантовое число, а  = –1/2, 1/2 квантовое число проекции спина, или спиновая переменная. Число различных значений проекций момента в соответствии с (12. 4) равно 2 l + 1. Для спинового момента электрона это число 2 s +1 должно быть равным 2, чтобы обеспечить дублетность спектральных линий. Отсюда и получаются значения чисел s и  в (13.1). Спиновое квантовое число s отличных от электрона микрообъектов, например многоэлектронных атомов, может быть иным, например s = 0, 1, 3/2. Соответственно,  = –s, –s+1, –s+2, …, s.

Со спином заряженной частицы связан и пропорциональный ему спиновый магнитный момент: M_sz = g_s S_z. В отличие от орбитального спиновое гиромагнитное отношение g_s в два раза больше: g_s =2q / (2 ). Именно это является причинной отличия гиромагнитного отношения, полученного в опытах Эйнштейна и де Газа, от того, которое ожидалось.

Как учитывается спин при описании электрона? В набор переменных, от которых зависит амплитуда состояния , помимо других переменных B следует включить и проекцию спина на некоторое направление z или соответствующую спиновую переменную :  = (B, ). В нерелятивистском приближении амплитуду такого состояния можно представить в виде произведения двух частей: (B, ) = (B) _(). Второй сомножитель – спиновая часть амплитуды состояния, или амплитуда спинового состояния. Эта амплитуда представляет собой совокупность лишь двух значений и, которые можно рассматривать как проекции вектора_ на базисные векторы 1/2 и –1/2. Вектор _ называют вектором спинового состояния. Его можно обозначить и , не забывая, что ось, относительно которой находится переменная , может не совпадать с осью, относительно которой определены базисные векторы 1/2 и –1/2.

Операторы спина , , , не могут быть, подобно операторам орбитального момента, выражены посредством операторов координат и импульсов, но другие свойства орбитального момента присущи и операторам спина. Операторы спина также должны быть самосопряженными и на них распространяются те же правила квантования (13.1) и те же перестановочные соотношения (12.3), что и для орбитального момента:

[] = 0, [] = i ħ , (13.2)

остальные получаются заменой x→y→z→x.

Требованиям, аналогичным операторам, должны удовлетворять и сопоставляемые им матрицы. В качестве базиса представления операторов спина берут собственные векторы  оператора :  =  s_z. Этот базис является собственным не только для оператора , но и для оператора , поскольку данные операторы коммутируют. Поэтому матрицы операторов и имеют диагональный вид: