§12. Операторы момента импульса

 Литература: [8], [3], [6].

Оператор момента импульса получается по сформулированному выше правилу из классического определения этой величины:

= []. →= [ ]. (12.1)

Чтобы получить выражения для операторов проекций момента импульса, следует раскрыть векторное произведение (12.1):

=y –z ,=z –x, = x –y , =++. (12.2)

Полученные четыре оператора удовлетворяют таким перестановочным соотношениям: [] = 0, [] =i ħ , (12.3)

остальные получаются заменой x→y→z→x.

Из соотношений (12.3) следуют свойства момента импульса микрообъектов, которые не присущи классическим частицам. Проекции момента импульса не совместны, поэтому векторная величина момент импульса не имеет определенного направления в пространстве, ее нельзя изобразить направленным отрезком. Определенное значение имеют только квадрат момента импульс и его проекция на произвольно выбранное направление оси z. Для наглядного представления такой ситуации момент импульса изображают в определенном масштабе конусом, образующая которого равна , а высота –L_z. Можно представлять себе, что образующая конуса быстро вращается (совершает прецессию) вокруг оси конуса.

Еще одним следствием (12.3) является квантование момента импульса: L² = ħ² l (l+1), Lz = ħ m, (12.4)

где l = 0, 1, 2,…– орбитальное квантовое число, а m = –l, –l+1, –l+2, …, l – магнитное квантовое число. Правила квантования можно получить не только из (12.3), но и из решения уравнения для собственных значений операторов и . Экспериментально квантование момента импульса было доказано в 1922 году опытами О. Штерна(1888–1968) и В. Герлаха (1889–1979).

Классическая частица с зарядом q и массой  обладает магнитным моментом , который пропорционален моменту импульса:=g . Величинуg = q / (2 называют гиромагнитным отношением. Проверка связи магнитного момента с моментом импульса и измерение гиромагнитного отношения были целью опытов А. Эйнштейна и де Газа (1878–1960), проведенных в 1915 году. Пропорциональность магнитного момента моменту импульса подтвердили эти опыты, но гиромагнитное отношение оказалось отличным от величины q / (2 ) . В опытах Штерна и Герлаха непосредственно наблюдалось квантование проекции магнитного момента, пропорционального моменту импульса. Пропорциональность величин M_z и L_z послужила поводом назвать квантовое число m магнитным квантовым числом.

? Контрольные вопросы

1. Запишите операторы момента импульса.

2. Запишите перестановочные соотношения для операторов момента импульса.

3. Расскажите о физических следствиях перестановочных соотношений для операторов моментов импульса?

4. Запишите правила квантования момента импульса.

5. Расскажите о связи магнитного момента и момента импульса.



Задания

Д. 12.1. Опыты Штерна и Герлаха.

12.1. Выведите коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса.

12.2. Выведите коммутационное соотношение для оператора квадрата момента импульса и оператора и его проекции на некоторое направление.

12.3. Докажите, что перестановочные соотношения для операторов суммы независимых моментов такие же как и для операторов каждого из них.

12.4. Докажите, что [ x] = 0, а [ y] = i ħ z.