
- •Б. В. Селюк
- •Введение
- •I. Предпосылки создания квантовой механики
- •§1. Классическая электронная теория
- •§2. Равновесное излучение. Гипотеза Планка
- •§3. Корпускулярные свойства света. Теория атома по Бору
- •§4. Волновые свойства частиц. Корпускулярно-волновой дуализм
- •II. Описание состояний микрообъектов
- •§5. Состояния микрочастиц
- •§6. Свойства амплитуд состояний
- •§7. Векторы состояний
- •III. Операторы и наблюдаемые
- •§8. Операторы
- •§9. Наблюдаемые
- •§10. Матричное и координатное представления
- •§11. Операторы координат, импульсов и их функций
- •§12. Операторы момента импульса
- •§13. Спин
- •IV. Эволюция состояний
- •§14. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния
- •§15. Уравнение движения в форме Гейзенберга. Интегралы движения
- •§16. Переход от квантовых уравнений движения к классическим
- •§17. Квазистационарные состояния. Соотношения неопределенностей для энергии и времени
- •V. Простешие случаи движения §18. Свободное движение микрочастиц
- •§19. Движение частиц в прямоугольной потенциальной яме
- •§20. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •§21. Линейный гармонический осциллятор
- •VI. Движение в центральном поле §22. Ротатор. Собственные функции и собственные значения операторов орбитального момента импульса
- •§23. Задача о движении двух частиц.
- •§24. Решение квантово-механической задачи об атоме водорода
- •§25. Энергетический спектр и пространственная структура атома водорода. Влияние спина электрона на энергетический спектр
- •VII. Теория возмущений. Атомы и молекулы §26. Теория стационарных возмущений
- •§27. Теория нестационарных возмущений
- •§28. Принцип неразличимости одинаковых частиц
- •§29. Атом гелия
- •§30. Периодическая система элементов д.И. Менделеева
- •§31. Молекула водорода
- •§32. Природа химических связей
- •Заключение
- •Литература
- •Оглавление
§11. Операторы координат, импульсов и их функций
Литература: [8], [3], [1], [7].
Чтобы
с помощью операторов получать наблюдаемые
на опыте результаты, нужно установить,
какие именно операторы следует
сопоставлять тем или иным величинам.
Установим вначале, какой оператор
следует сопоставлять радиус-вектору
частицы
.
Для этого воспользуемся формулами
(9.1), по которым вычисляются средние
значения. В координатном представлении
эти формулы дают:
=
=
=
.
Из
последнего равенства следует, что в
качестве оператора
следует
взять оператор умножения на
.
Фактически установлен видоператоров
координат:
=x,
=y,
= z.
Оператор
импульса
подбирается, исходя из того, что волна
де Бройля, описывающая состояние с
определенным импульсом
,
должна быть собственной функцией
оператора
,
соответствующей собственному значению
:
=
,
= A exp
,
=
→
=–i
ħ
=–i
ħ
.
=–i
ħ
,
=
–i ħ
,
=
–i ħ
.(11.1)
Итак, установлены операторы координат и импульсов. Они удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
[x
]
=i
ħ,
[x
]
= [
]
= [x
y]=0,
(11.2)
а также аналогичным выражениям с заменой x→y→z→x.
Перестановочные соотношения имеют большое значение в квантовой механике. В соответствии с теоремой о коммутирующих операторах из (11.2) следует, что несовместными величинами являются координата и соответствующая ей проекция импульса. Для несовместных величин имеет место соотношение неопределенностей. Оно устанавливается следующей теоремой.
Если
операторы величин F
и G
связаны с некоторым самосопряженным
оператором
равенством [
]
=i
,
то для неопределенностей этих величинF
и G
имеет место соотношение F
G
≥ K. (11.3)
Смысл
обозначений в (11.3) следующий: K=
,F
=
,
где
=
–F,
F=
,
величинаG
аналогична F.
Для
доказательства теоремы следует
воспользоваться вспомогательным
вектором
= (
–i
),
где
– действительное число, а i
– мнимая единица. Скалярный квадрат
этого вектора положителен. Он является
функцией параметра :
=f(F2
+ K
+ G2.
При получении этого выражения следует
учесть, что операторы
и
связаны такими же соотношениями, как
и операторы
и
.
Квадратный трехчленf(
положителен, если его дискриминант
меньше нуля. Отсюда и получается
соотношение (11.3).
Применение данной теоремы к операторам координат и импульсов, для которых справедливы перестановочные соотношения (11.2), дает соотношение неопределенностей Гейзенберга x px ≥ ħ / 2.
Построение
операторов
величин, которые в классической физике
выражаются через координаты и импульсы,
осуществляется по следующему правилу:
соотношения
между операторами
физических величин такие
же, как
и между соответствующими величинами
в классической физике. Это правило
вместе с другими постулатами подтверждается
согласием теории с практикой.
Руководствуясь данным правилом, получим
выражения для операторов потенциальной
функции
,
кинетической энергии
и оператора Гамильтона
(гамильтониана):
=U(
,
=
=
,
=–
+
(
.(11.4)
? Контрольные вопросы
Расскажите о подборе операторов координат.
Получите выражение для оператора импульса.
Какие из операторов координат и импульсов коммутируют, а какие нет?
Расскажите о физических следствиях перестановочных соотношений (11.2).
Что является обобщением соотношения неопределенностей Гейзенберга?
Какой точный смысл имеют величины, входящие в соотношение неопределенностей Гейзенберга?
Запишите оператор Гамильтона.
Совместны ли кинетическая и потенциальная энергии?
Д. 11.1. Коммутационные соотношения для операторов координат и импульсов.
Д. 11.2. Соотношение неопределенностей произвольных несовместных величин.
11.2. Состояние электрона описывается функцией
n
=
n
= 1, 2, …
sin
,
если 0
x
a
0, если x< 0, x > a.
Найти среднюю кинетическую энергию электрона в этом состоянии.