§10. Матричное и координатное представления

 Литература: [8], [3], [7].

Как отмечалось, векторный формализм удобен в теории, а для получения результатов, подлежащих измерениям, следует использовать различные представления. В классической физике векторные величины представляют их проекциями. В квантовой механике от векторов состояния переходят к амплитудам в различных представлениях. Базисом представления может быть совокупность векторов b какого-либо квантово-механического оператора (B-представление).

Пусть базис образует счетное множество векторов: b = k, где k = 1, 2, … Тогда произвольный вектор состояния можно представить в виде:

 = =,(10.1)

где _k = – амплитуда состояния. Она представляет собой множество чисел, которое отображают матрицей-столбцом. Здесь и далее суммирование подразумевается по дважды повторяющимся индексам.

В сопряженном пространстве состояние  описывается bra-вектором

⁺ =  = =,(10.2)

где _k⁺ = =_k*. Это множество чисел отображают матрицей-строкой.

Применив к вектору состояния  некоторый оператор , получим другой вектор , который тоже может быть разложен по базису k:  = , =. После умножения последнего равенства слева наi получим: == = _i, или =_i, где == – матрица оператора , _i – матрица-строка вектора . Таким образом, оператор представляется матрицей , а векторное уравнение  =  – матричным уравнением =_i.

Уравнение для нахождения собственных значений и собственных векторов оператора = F в матричном представлении =_i F становится линейной однородной системой алгебраических уравнений. Такая система имеет не нулевые решения, если ее детерминант равен нулю. Приравняв его к нулю, получают уравнение, которое дает искомые значения F. Для каждого из найденных значений параметра F решение рассматриваемой системы уравнений (совокупность неизвестных _i) и представляет собой матрицу-столбец собственного вектора оператора .

В сопряженном пространстве оператору соответствует оператор ⁺. Он представляется матрицей = . Уравнение  =  в матричной форме приобретает вид =_i⁺. Матрицы оператора в сопряженных пространствах связаны соотношением = , то есть переход в сопряженное пространство осуществляется посредством двух процедур: комплексным сопряжением и транспонированием. Для самосопряженных операторов ⁺ = , поэтому матрицы этих операторов удовлетворяют соотношению = . Их также называют самосопряженными или эрмитовыми.

Алгебра матриц согласована с алгеброй операторов. Так что, например, матрицей произведения операторов является произведение матриц этих операторов. Матрицы коммутирующих операторов тоже коммутируют.

В собственном представлении матрица оператора имеет диагональный вид, причем диагональные элементы совпадают с множеством экспериментально наблюдаемых значений величины, сопоставляемой данному оператору. Приведение матрицы оператора к диагональному виду решает вопрос о спектре величины.

Матричное представление векторов состояний и операторов предполагает, что базисные векторы b образуют счетное множество. В часто используемом координатном представлении базисом служат векторы b = , образующие несчетное множество.

Координатным представлением вектора состояния является волновая функция =(), а не матрица-столбец. Суммирование по базисным состояниям заменяется интегрированием по всем. Амплитудуможно представить в виде = (). Здесь оператор действует на функцию (), а в выражении– на соответствующий ей вектор. Одинаковое обозначение не одинаковых операторов не ведет к недоразумениям, поскольку справа от оператора расположен объект, на который направлено его действие. Результат применения обоих операторов один и тот же: = = () ==().

С учетом этих соображений рассуждения, аналогичные случаю счетного множества базисных состояний, приводят к заключению, что уравнение  =  в координатном представлении принимает вид () =(), то естьвекторы заменяются волновыми функциями. Собственные значения и собственные функции оператора находятся из уравнения () =F(). Амплитуда в координатном представлении вычисляется так:

 = ==.(10.3)

В некоторых случаях приходится вычислять матричные элементы = , зная волновые функции i-го и k-го состояний:

= = =.(10.4)

В частности, так поступают при нахождении по формуле (9.1) среднего значения величины F в состоянии, описываемом функцией ():

F ==.(10.5)

Запишем в координатном представлении условие самосопряженности оператора (8.4), используя формулу (10.4) для матричных элементов:

 = ^*==.(10.5)

Поменяв местами обкладки под интегралом, оператор следует заменить комплексно сопряженным выражением.

? Контрольные вопросы

1. Как выглядят матрицы состояний микрочастицы в ket-пространстве и в bra- пространстве?

2. Запишите квантово-механическое уравнение  =  в матричном виде.

3. Запишите матрицы оператора в исходном и в сопряженном пространствах. Чем отличаются эти матрицы?

4. Какие матрицы являются самосопряженными?

5. Как выглядит матрица оператора в собственном представлении?

6. Запишите в координатном представлении уравнение для нахождения собственных значений и собственных функций оператора.

7. Как находится среднее значение величины F в состоянии ()?

8. Запишите в координатном представлении условие самосопряженности оператора.



Задания

10.1. Получите уравнение =_i⁺.

10.2. Докажите, что матрица оператора в собственном представлении имеет диагональный вид.

10.3. Приведите уравнение  =  к виду () =().

10.4. Покажите, что на множестве исчезающих на бесконечности функций операторы x и i d/dx самосопряженные, а оператор d/dx – не самосопряженный.