- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. Понятие моделирования
- •1.2. Виды моделирования
- •1.2.1. Физическое моделирование
- •1.2.2. Математическое моделирование
- •1.3. Классификация математических моделей
- •1.4. Понятие об адекватности математической модели
- •МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Рис.2.1. Блок-схема объекта моделирования
- •2.2. Пассивный эксперимент: общая характеристика
- •2.3. Понятие об уравнении регрессии
- •2.4. Построение линейной модели статики
- •Таблица 2.2
- •Рис.2.4. Блок-схема объекта (при n=1)
- •2.5. Регрессионный анализ результатов моделирования
- •Рис.2.6. Тональная аудиограмма при остром среднем отите
- •2.5.3. Проверка гипотезы об адекватности математической модели
- •2.6. Построение множественной линейной модели
- •2.8. Математические модели на основе активных экспериментов
- •3.2. Модели, характеризующие режим течения материального потока
- •4. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БТС
- •4.1. Понятие об имитационном моделировании
- •4.2. Понятие о компартментной системе
- •5. ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ MATLAB
- •ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ БТС
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
|
28 |
.................................................... |
|
n |
n |
yˆ = c0 + ∑ci xi + |
∑cij xi xj +... |
i =1 |
i, j =1 |
Математическую модель объекта в форме уравнения регрессии можно создавать на основе результатов пассивного эксперимента, проводя по определенным правилам наблюдения за входами и выходом в статическом режиме работы. При постановке эксперимента принимаются следующие допущения:
-найденные экспериментальные значения Y отвечают нормальному закону распределения;
-относительные ошибки измерения ( x1 , x2 ,...xn ) незначительны, т.е.
среднее квадратичное отклонение ошибки измерения каждого xi не больше трёх процентов от диапазона измеренияxi ;
- выборочные дисперсии параллельных измерений являются однородными.
В зависимости от числа факторов n на основе выражения (2.10) можно сформировать конкретные уравнения регрессии. Выбор вида уравнения осуществляется путем экспериментального подбора.
2.4. Построение линейной модели статики
Рассмотрим физический объект, имеющий один вход и один выход (рис.2.4). Результаты пассивного эксперимента в этом случае можно представить таблицей (табл.2.2) или графиком (рис.2.5).
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
|
|
i |
x1 |
y в параллельных |
||||
|
опытах |
|
|
||||
|
|
|
y1 |
y2 |
…. |
|
ym |
|
1 |
x11 |
y11 |
|
|
|
ym1 |
|
2 |
x12 |
y12 |
|
|
|
ym2 |
Рис.2.4. Блок-схема объекта (при n=1) |
N |
x1N |
y1N |
|
|
|
ymN |
|
|
|
|
|
|
|
|
Графическая интерпретация результатов пассивного эксперимента, проведенного на объекте, показывает, что зависимость выходного параметра от фактора можно описать линейным уравнением
29 |
|
y) = b0 +b1x1 |
(2.11) |
Для определения коэффициентов b0 и b1 |
в уравнении математической |
модели (2.11) можно использовать метод наименьших квадратов (МНК).
Рис.2.5.Аппроксимация экспериментальных данных
Вэтом случае определение коэффициентов уравнения модели сводится
коптимизационной задаче следующего вида.
Найти b0 и b1 такие, что обеспечивают минимум функционала F:
i=N |
) |
2 |
min, |
(2.12) |
|
||||
F = ∑( yi −yi ) |
|
|
i=1
С учетом вида уравнения математической модели, выражение для функционала (2.12) примет вид
i=N |
|
F = ∑( yi − b0 −b1 x1 )2 min . |
(2.13) |
i=1
Функционал F характеризует степень разброса экспериментальных точек (y) относительно точек расчетных, найденных по уравнению математической модели.
Необходимые условия минимума F:
F min, если |
∂F |
= 0 и |
∂F |
= 0. |
(2.14) |
|
|
||||
|
∂b0 |
∂b1 |
|
C учетом (2.13) условия (2.14) примут вид
30
|
|
∂F |
|
|
|
i=N |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= 2∑( yi −bo |
−b1 x1i )(-1) =0, |
(2.15) |
||||||||||
|
|
∂b |
||||||||||||
0 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂F |
|
|
|
i=N |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= 2∑( yi −bo −b1 x1i )(-x1i ) =0. |
|
||||||||||||
|
∂b |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
||||
После преобразования (2.15) получим |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=N |
|
i=N |
|
|
|
|
|
|
Nb0 |
+b1 ∑x1i |
= ∑yi , |
|
|
(2.16) |
|||||||
|
|
|
|
i=N |
|
|
i=1 i=N |
|
i=1 i=N |
|
|
|
||
|
|
b0 ∑x1i +b1 ∑x12i = ∑yi x1i . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
Из (2.16) находим |
|
|
i=N |
|
i=N |
i=N |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
b = |
|
N ∑x1i yi |
−∑x1i |
∑yi |
, |
(2.17) |
||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
i=1 |
|
||||||
1 |
|
|
|
i=N |
|
i=N |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N ∑x1i2 −(∑x1i )2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
i=N i=1 |
|
ii==1N |
|
|
|
|
|
|
b0 = |
|
|
∑yi - b1 |
1 |
∑x1i . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
N i=1 |
|
N i=1 |
|
|
|
|||
Уравнения (2.17) показывают, что между b0 |
и b1 |
существует корреля- |
ционная связь. Для ее оценки используют выборочный коэффициент парной корреляции
|
|
ryx 1 = |
|
b1 S x1 |
|
, |
(2.18) |
||||
|
|
|
S y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
N |
|
|
|
|
S x1 |
= |
N |
|
∑(x1i − mx1 )2 , |
|
||||||
|
|
|
− |
1 i =1 |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|||
S y |
= |
N |
|
∑( yi − m y )2 , |
|
||||||
|
|
− 1 i =1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ryx 1 |
|
≤ |
1 . |
(2.19) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Если ryx 1 > 0 , то фактор (x1) |
и выходной параметр (y) изменяют- |
ся в одном направлении (одновременно возрастают или убывают).