Пак Г.К. - Дискретная математика

ТЕОРЕМА. Число p k,n,r ограниченно-детерминированных функций,

зависящих от n переменных веса r из РД.К. , не превосходит (rk)rkn .

Доказательство. Возьмем диаграмму Мура для ограниченнодетерминированной функции веса r . В ней из каждой вершины исхо-

0, 1,…,r 1 (0 – выделенная вершина); из каждой из них исходит по N ребер, занумерованных числами 0, 1,…, N – 1. Всего имеем rN ребер. Каждое ребро может быть соединено с любой из r вершин, и ему может быть приписано любое из k чисел. Поэтому число диаграмм Мура равно

числу размещений с повторениями из rk по rN , т.е. (rk)rN .■

10.6. Канонические уравнения

Рассмотрим диаграмму Мура ограниченно-детерминированной функции f (xn,...,xn ). Предположим, что в момент t – 1 мы находились в вершине æ t 1 . Тогда при поступлении в момент времени t числа

t мы переместимся в диаграмме по ребру t , выходящему из вер-

шины æ t 1 , при этом получим выходное значение t и перейдем в

чениевыходной величины . Мы пришли кканоническимуравнениям:

z(t) x t ,Q t 1 ,

где Q 0 0. Если перейти от вектор-

t G(x(t),Q(t 1)),

ной записи канонических уравнений к скалярной, то получим:

q1(t) G1(x1(t), ,xn (t), q1(t 1), ql (t 1)),

… … …. … …

ql (t) Gl (x1(t), ,xn (t), q1(t 1), ql (t 1)),

101

2. Для функции z x y канонические уравнения имеют вид

z(t) x(t) y(t) q(t 1)(mod2),

q(t) x(t)y(t) x(t)q(t 1) y(t)q(t 1), z(0) 0.

10.7.Операциинадограниченно-детерминированнымифункциями

ТЕОРЕМА. Класс детерминированных функций замкнут относительно операции суперпозиции. ■

ТЕОРЕМА. Класс ограниченно-детерминированных функций замкнут относительно суперпозиции.

Покажем, что f можно задать каноническими уравнениями.

102

z1 t F1 x1 t ,...,Fd x1 t ,..., ,...,xn t ,q1 t 1,...,ql t 1,...,xn t ,q1 t 1,...,ql t 1 ,

Пример. Рассмотрим систему ограниченно-детерминированной функции, задаваемую каноническими уравнениями:

z t x t y t q t 1 mod2 ,

t x t y t x t q t 1 y t q t 1,

q t u t ,q 0 0.

Обе функции t и зависят от переменной и, с запаздыванием.

Посредством тождества u t t введем обратную связь. Получим

канонические уравнения:

z t x t y t q t 1 mod2 ,

q t x t y t x t q t 1 y t q t 1,

q 0 0.

Таким образом, результатом операции О является ограниченнодетерминированная функция, представляющая сложение двух последовательностей.

ТЕОРЕМА. Класс ограниченно-детерминированных функций замкнут относительно операции О. ■

10.8. Полные системы

Пусть Pk – множество всех функций k-значной логики, т.е. функ-

ций, для которых области определения всех переменных есть множество {0, 1, …, k – 1}, и область значений лежит в этом жемножестве.

Примеры функций k-значной логики

1.x x 1 modk – обобщение отрицания в смысле «циклического» сдвига значений;

2.Nx k 1 x – отрицание Лукашевича, другое обобщение от-

рицания в смысле «зеркального» отображения значений;

105

при i k 1 представляет собой обобщение отрицания;

5.min x1,x2 – обобщение конъюнкции;

6.max x1,x2 – обобщение дизъюнкции;

7.x1x2 mod – второе обобщение конъюнкции;

8.x1 x2 modk – сумма по модулю k;

9.V x1,x2 max x1,x2 1 – функция Вебба, обобщение функции Шеффера. Функция Вебба образует полную систему в Рk относительно операции суперпозиции.

множество k ограниченно-детерминированной функции. Оно взаимнооднозначно и сохраняет операцию суперпозиция, т.е. функциональные системы (Рk ,C) и ( k ,C) изоморфны. Следовательно, в качестве базиса k можно взять fV (x1, x2) . Другим примером базиса в ( k ,C) явля-

ется множество f0, f1,...fk 1, fI0 x ,..., fIk 1 x , f min x1,x , f max x1,x .

ТЕОРЕМА. Существует ограниченно-детерминированная функция f –

аналог функции Шеффера, такая, что система f полна в Ро.д.ф относи-

тельноС и О.

ТЕОРЕМА. Не существует алгоритма, который бы для каждой конечной системы ограниченно-детерминированной функции выяснял, является ли она полной.

106

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1977. - 368 с.

2.Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высшая шко-

ла, 1986. - 311 с.

3.Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988. - 480 с.

4.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М.: Наука, 1984. - 224 с.

5.Москинова Т.И. Дискретная математика. Математика для менеджеров в примерах и упражнениях. – М.: Логос, 2000. - 240с.

6.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб:

Питер, 2000. - 304 с.

7.Фудзисава Т., Касами Т. Математика для радиоинженеров. Теория дискретных структур /Пер. с яп. – М.: Радио и связь, 1984. - 240 с.

8.Шоломов Л.А. Основы теории дискретных логических и вычислительных устройств. – М.: Наука, 1980. - 368 с.

9.Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1986. - 384 с.

Дискретная математика

Учебное пособие

Пак Геннадий Константинович, профессор