Пак Г.К. - Дискретная математика

(2)x 0, y 0 заменяем единицы записи x на +,

(3)стираем первый + слева, находим последний блок единиц и применяем программу удвоения,

(4)повторяем эту операцию до тех пор, пока не исчезнут +,

(5)стираем один блок единиц,

(6)применяем программу сжатия.

x2 (1) применяем программу удвоения,

(2)применяем программу xy .

x = наибольшее y такое, что y2 x, y 1 2 x:

(1)от x справа печатаем y = 1,

(2)дублируем x и y,

(3)возводим y + 1 в квадрат,

(4)вычисляем y 1 2 x ,

(5)если y 1 2 x 0 , то стираем все, кроме y. Конец.

(6)если y 1 2 x = 0, то в оригинале заменяем y на y + 1 и переходим к (2).

7.9.Канторовские нумерации

Множество 02 a,b |a,b 0 можно занумеровать с по-

мощью функции C(x, y) 1 2 3 (x y) x, т.е.

C(x, y) (x y)(x y 1) x.

деленности x y x y.Тогда

C(x, y) (0 1 2 x y) x 0 x y (x y 1)(x y) x 0 1 2 x y x C(x , y ). Противоречие.

Замечание. Канторовская нумерация вычислима по Тьюрингу.

81

Упражнения

1.Найти пару x, y c номером 20.

2.Найти номер пары 4, 2.

Решение (1). 0 1 2 3 4 5 20 x y 5, x 20 15 5 y 0.

Ответ: 5, 0.

Пример. Найти проекцию числа 121.

Пример.

С(1, 4, 0) = 121. Это следует из того, что С(1, 14) = 121 и С(4, 0) = 14.

Таким образом, мы занумеровали все конечные наборы чисел.

Пример. C (14) C(1,14) 121.

7.10. Нумерация машин Тьюринга

Поставим в соответствие каждой команде программы МТ пятерку чисел i, j, i , j , k , где k = 0, если в команде стоит М, k = 1, если Л, k = 2, если П. Тогда каждая команда МТ получает канторовский номер С5

(i, j, i , j , k) = n; k1 – n1, k2 – n2, … , ks – ns; s = n(m – 1).Машина Тьюринга получает номер N = C (n1, n2, … , ns).

7.11. Универсальная машина Тьюринга

Занумеруем все машины Тьюринга, вычисляющие одноместные функции. Универсальная машина Тьюринга МУ работает так над парой n, x так:

–если n – номер МТ, вычисляющей f, то на выходе имеем f(x),

–если n – не номер МТ, то машина останавливается. Описание МУ. На ленте записаны числа n и x.

(1)Находим число s(n) команда в машине Mn с номером n.

(2)Находим номер каждой команды n1, n2, … , ns.

(3)Раскодируем номера команд и запишем на ленте эти команды. На лентевозникнет ситуация

82

q1**

(4)Если в состоянии qi управляющее устройство находится над симво-

лом pj , то после этого программа ищет команду К, у которой левая часть qi , pj . После этого управляющее устройство возвращается на то место, откуда начался поиск команды. Здесь состояние qi отно-

сится к Mn , состояние qi* относится к МУ и используется при деко-

дировании номера n,q** – состояние МУ при вычислении f (x) .

7.12. Алгоритмическая неразрешимость проблемы самоприменимости

Проблема самоприменимости заключается в построении алгоритма, позволяющеговыяснить, применима ли МТ к своемуномеру.

ТЕОРЕМА. Проблема самоприменимости алгоритмически неразрешима. Доказательство. Допустим, что существует алгоритм, позволяющий выяснить, применима ли МТ к своему номеру. Обозничим через МС машину Тьюринга, разрешающую этот алгоритм, и пусть МС печатает, если машина Mn применима к n, в противном случае. Пусть

~

МС зацикливается, если МС выдает и совпадает с МС в остальных

~~

случаях, и пусть æ – номер МС. Допустим МС самоприменима. Тогда

~

МС (æ)= , а следовательно, МС при работе над æ зацикливается. Если

7.13. Рекурсивные функции

Рассматриваются частичные числовые функции f 0n 0 . Функция f называется всюду определенной, если она определена на всем множестве 0n . Следующиевсюдуопределенныефункции называютсяпро-

f (x1, , xn , y) получается из функций (x1, ,xn), (x1, ,xn,y,z) с помощьюоператорапримитивнойрекурсии,еслионаможетбытьзаданасхемой:

f (x1, ,xn,0) (x1, ,xn ),

f (x1, ,xn, y 1) (x1, ,xn, y, f (x1, ,xn, y)),y 0.

Её обозначение R( n, n 2) f n 1. При n = 0 схема примитивной

(x1, ,xn,0) 0, , (x1, ,xn,y 1) 0,

(x1, ,xn, y) 0.

Обозначение: f (x1, , xn ) y (x1, , xn , y) 0.

Функция f называется примитивно рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции С и примитивной рекурсии R. Множество всех примитивно рекурсивных функций обозначается как Kпрф . Функция называется частично рекурсивной, если она может быть

получена из простейщих функций с помощью конечного числа применений операторов С, R, . Это множество обозначается Kчрф. Функция называется общерекурсивной, если она частично рекурсивна и всюду определена (Kорф) . Ясно, что Kпрф Kорф Kчрф.

ТЕОРЕМА. Kчрф KВ – классвсех функций, вычислимых поТьюрингу.

Доказательство. Приведем машины Тьюринга для простейших функций:

Остальные выкладки доказательства опустим.

84

ГЛАВА 8. МИНИМИЗАЦИЯБУЛЕВЫХФУНКЦИЙ

Сумма всех рангов элементарных дизъюнкций, входящих в ДНФ, называется сложностью ДНФ. ДНФ для булевой функции называется минимальной, если она реализует эту функцию и имеет минимальную сложность среди всех ДНФ, реализующих эту функцию. Задача – построить минимальную ДНФ для булевой функции. Как известно, число

всех различных булевых функций от x1, ,xn равно 22n , а число ДНФ от этих же переменных равно 23n , т.е. “в среднем” на булевых функций

((3)n 1)2n

приходится 2 2 , реализующих её ДНФ. Среди них мы и должны выбрать минимальную ДНФ.

8.1. Интервалы

Поставим булеву функцию y f (x1, ,xn) во взаимнооднознач-

ное соответствие множеств Nf всех двоичных наборов, на которых

функция принимает значение 1. Множество всех двоичных наборов, на которых элементарная конъюнкция ранга r принимает значение 1, называется интервалом ранга r. В качестве примера приведем все интервалы для ЭК ( x1,x2,x3 ) (табл. 8.1).

85

Продолжение табл. 8.1

86

(точки) содержатся в перечисленных. Например, x1x2x3 x1x2 . По-

этому простыми конъюнкциями будут x1x3,x2x3,x1x2,x1x3, x2x3,x1x2. Пусть A1 , , Ak – множество всех максимальных для f интервалов.

Будем называть Df A1 Ak сокращенной ДНФ (сокр. ДНФ).

Сокр. ДНФ обладает замечательным свойством.

ТЕОРЕМА. Минимальная ДНФ для f получается из сокращенной удалением некоторых элементарных конъюнкций.

Лемма. A B ЭКn C 1: A BC, где переменные C отличны

от переменных В.

Доказательство леммы. Если переменные входят в А и В, то входят в

Следствие. Если A B , то ранг В меньше ранга А. Доказательство теоремы. Пусть ЭК А, не являющаяся простой, вошла

вует ДНФ меньшей сложности, что противоречит минимальности взятой ДНФ.

8.3. Тупиковая ДНФ

Выбрасывание ЭК из ДНФ, в том числе и из сокращенной, можно осуществлять по следующему правилу.

Если же после применения этого приема несколько раз получится ДНФ, из которой нельзя удалить ни одной ЭК, то получится ДНФ,

88

а это означаeт, чтоЭК А не простая для f.

Рассмотрим все ЭК С, удовлетворяющие трем условиям:

1)С содержит только переменные, общие с D ;

2)C A , т.е. А минимальна по рангу среди ЭК вида С;

3)в ДНФ D не существует ЭК Аj такой, что C A j .

Множество ЭК С, удовлетворяющих условиям 1-3, непусто. Этим условиям удовлетворяет А. Обозначим одну из конъюнкция С наибольшего ранга через k. Эта конъюнкция не может включать все

которая либов точностиk, либо ее интервал содержит k.

Аналогичные построения можно выполнить для любой конъюнкции наибольшего ранга, удовлетворяющей условиям 1-3. Тем самым доказано, что в процессе применения правила обобщенного склеивания к D наибольший ранг конъюнкций С уменьшается по крайней мере на 1.

Повторяя рассуждения, заметим, что наступит момент, когда останется одна конъюнкция, удовлетворяющая условиям 1-3. Это А. Рассматривая ее вместо k, убеждаемся, что она будет введена в преобразованную ДНФ в преобразованную ДНФ войдут все простыеДНФ дляf.

После включения ни одна такая конъюнкция не может быть удалена. Действительно, правило (2) ничего не удаляет из D , а правило (1) удаляет только те ЭК, которые не являются простыми. Если в ДНФ будут введены все простые для f ЭК, то все остальные будут удалены по правилу поглощения.

Пример. Если f = (01011110), то

f x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3

x2 (x1x3) x2(x1x3) x3(x1x2) x3(x1x2) x1x3 x1x2 x1x2x3

x1x3 x1x2 x1x2x3 x1x3 x1x3 x1x2 x1x3 x1x3 x1x2 x2x3 x1x3.

8.5. Алгоритм перехода от сокращенной ДНФ к тупиковой

Для перехода от сокращенной ДНФ к тупиковой надо уметь про-

ные, общие с A . Например, если A x1x2, A x1x3 , то удалим из Ai пе-

ременную x1 . Оставшиеся в Ai сомножители образуют конъюнкцию С.

iCi (~) 0 iAi (~) 0 Vi Ai (~) 0.

Для получения тупиковой ДНФ из сокращенной необходимо последовательно применять доказанный критерий поглощения. Те конъ-

91

юнкции, для которых не выполнено условие Vi Ci 1, включаем в со-

став тупиковой ДНФ.

Пример. Рассмотрим булеву функцию, заданную в виде сокр. ДНФ (см. предыдущий пример), f x1x2 x1x3 x2x3 x1x2. Проверяем конъ-

юнкцию x1x3 . Так как (x1x3)(x1x3) 0, (x1x3)(x2x3) 0, (x1x3)(x1x2) 0,

то необходимо проверить условие x1x3 x2x3 ; A1 x2 x3,C1 x2 1 в ДНФ следует поставить x1x3 . Аналогичный результат дает проверка x1x3 . Для испытания x2 x3 остается две конъюнкции x1x3 A1,x1x2 A2 .

Мы имеем C1 x2,C2 x2, C1 C2 1 x2x3 x1x3 x1x2 . Удалив x2x3 , придем к тупиковой ДНФ x1x3 x1x3 x1x2. Проведя испытания в другом

порядке, можно получить и другую тупиковую ДНФ x1x3 x1x3 x2x3.

Замечание. Минимальная ДНФ – тупиковая. Но не наоборот. Для построения мин. ДНФ необходим перебор всех тупиковых ДНФ данной функции.

Упражнения

1.Докажите, что A B 0 существует переменная, которая входит в А и В в разных степенях; A B 0 все переменные, общиедля А и В, входят в них в одинаковых степенях.

2.Для произвольной булевой функции построить множество f ,

сокращенную ДНФ и применить критерий поглощения.

92

ГЛАВА9.СИНТЕЗСХЕМИЗФУНКЦИОНАЛЬНЫХЭЛЕМЕНТОВ

Рассмотрим реализацию булевых функций некоторыми схемами. Конкретные технические особенности нас не будут интересовать. При изучении систем, реализующих булевы функции, возникает две задачи. Задача анализа. Задана система S. Требуется определить булеву функцию, которую она реализует. Задача синтеза. Задана булева функция. Требуется найти систему S, которая ее реализует и, кроме этого, отвечает некоторым условиям. В частности, S должна быть возможно более простой схемой.

9.1. Функция Шеннона

Пусть задана булева функция f и соответствующее множество схемных реализаций Sf . Для того, чтобы подобрать лучшую реализа-

цию с точки зрения простоты, нужно ввести индекс сложности (S) схемы S. При решении задачи синтеза мы должны выбрать такую схему

достаточно простых реализаций связано с большими трудностями. Существует несколько ослабленных постановок этой задачи. Постановка

на которых можно построить любую булеву функцию от n переменных. Для синтеза схем с помощью функции Шеннона необходимо: а) построить эту схему для заданного класса схем, б) уметь строить схему, сложность которой не превышала бы L(n).

9.2. Схемы из функциональных элементов

Пусть имеется конечное множество объектов Fi,i 1, r , назы-

ваемых элементами (элементная база). Каждый элемент Fi имеет ni входов и один выход. Логическая сеть определяется индуктивно как объект, имеющий n входов и p выходов.

База индукции. Одна изолированная вершина является (тривиальной) логической сетью, причем одновременновходом и выходом (рис. 9.1).

93

«Индуктивный» переход основан на использовании трех операций.

1. Объединение непересекающихся сетей. Пусть Σ и Σ – две не-

пересекающиеся сети, имеющие соответственно n и m входов и p и q выходов. Теоретикомножественное объединение Σ и Σ есть логиче-

ская сеть 1, входами которой являются все входы Σ и Σ , а выхода-

ми все выходы сетей Σ и Σ (рис. 9.2).

2.Операция присоединения элемента F. Пусть логическая сеть Σ

иэлемент F таковы, что число n входов F не больше числа выходов Σ .

Объявим логической сетью Σ2 фигуру, входами которой являются вхо-

ды сети Σ . При этом отождествим n выходов сети Σ с n входами элемента F, а остальные выходы Σ и выход элемента F объявим выходами сети Σ2 . Такая сеть называется результатом подключения элемента F к

логической сети Σ (рис. 9.3).

3. Операция расщепления выхода. Пусть дана логическая сеть Σ .

Выделим в ней один из выходов с номером j . Объявим логической сетью фигуру, входами которой являются входы Σ , а выходами – все выходы логической сети Σ с номерами 1, 2, , j – 1, j + 1, и еще два выхода, возникших из выхода с номером j сети Σ .

гаясь от входов к выходам, он будет переходить в набор 1, , m , характе94

ризующий состояние выходов, т.е. 1 f1( 1, , n), , m fm( 1, , n). Для произвольной системы булевой функции f1, , fm в исходной эле-

ментной базе F1,...,Fm существует схема Σ система функций

fi, i 1, m полна. В частности, в элементной базе {инвертор, конъюнктор, дизъюнктор} можно реализовать любую булеву функцию.

V

z

Рис. 9.4

95

момент времени t = 1, 2, подаются входные последовательности:

никает выходная последовательность 1, , m , f 1, , n .

Очевидно, что в дискретном преобразователе значение m зависит только от значений входных последовательностей в моменты времени t = 1, 2, , m и не зависят от значений в будущие моменты времени. Поэтому преобразование f – детерминированная функция. Все после-

довательности (1), (1), рассматриваем как нульместные

функции. Эти константы интерпретируются дискретным преобразователем без входов (генератором).

10.2. Задание детерминированных функций деревьями

Рассмотрим ориентированное дерево с корнем 0 , в котором на ярусах расположены по ребер, kn (рис. 10.2).

3 ярус

0

Рис. 10.2

Будем называть ветвью дерева связное подмножество ребер, содержащее в каждом ярусе ровно по одному ребру. Каждой

ра, входящего в эту ветвь, если идти по ней, начиная от корня. Например, ветви, помеченной на рис. 10.2 штриховой линией, соответствует последовательность 0, 1, N 1, .

Справедливо и обратное утверждение: каждой последовательности соответствует некоторая ветвь дерева.

97

Пусть y = f (x)– детерминированная функция. При ее помощи припишем каждому ребру дерева число из Ek . Для этого рассмотрим

путь, ведущий от корня к выбранному ребру. Этот путь определен однозначно и может быть охарактеризован некоторым кортежем(1), , (m) номеров ребер пути. Исходному ребру припишем число

m fm (1), (m) . Полученное дерево называется занумерованным деревом.

Пример. Для функции f (x1,x2) имеем k n 2, N 4 и(m) x1(m) x2(m). Следовательно, (m) зависит от последнего члена

кортежа, ведущего к данномуребру, т.е. от номера ребра. Ребру с номером 0 = (0, 0) соответствует значение 0 0 = 0. Ребру с номером 1 = (0, 1) соответствует значение 0 1 = 0, ребру с номером 2 = (1, 0) соответствует

1 0 =0, сномером 3 – значение1 1 = 1(рис. 10.3).

Итак, по детерминированной функции можно построить занумерованное дерево. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. По

данному N , уравнение N kn может допускать несколько решений относительно параметров k и n. Но по занумерованному дереву с заранее определенными параметрами k и n определится единственная детерминированная функция. Итак, занумерованными деревьями можно пользоваться в качестве аппарата для изучения детерминированных функций.

10.3. Вес дерева

Для некоторой детерминированных функций f (x) f (x1, ,xn)

возьмем занумерованное дерево. Пусть – его произвольная вершина m-го яруса. Совокупность всех ветвей, исходящих из , порождает не-

которое дерево с корнем , которое называется специальным поддере-

вом. Так как исходное дерево занумеровано, то поддерево также является занумерованным. Если в поддереве ввести нумерацию, начиная с первого яруса, то ему будет соответствовать детерминированная функ-

10.4. Усеченное дерево

Для занумерованных деревьев можно ввести нумерацию вершин. Сначала перенумеруем классы эквивалентности числами 0, 1, так, чтобы класс, в которых попадает исходное дерево, имел номер 0. Таким образом, нумерация содержит большой произвол. Пусть – номер класса, в который попадает дерево с корнем . Тогда вершине при-

сваивается номер . Получили дерево, у которого занумерованы также и вершины, причем корень имеет номер 0.

Рассмотрим теперь дерево с занумерованными ребрами и вершинами. Пусть ветвь проходит через вершины 0, 1, , i, , j, и этим

вершинам приписаны соответственно номера 0, 1, , i, , j, До-

пустим, что i j, i j , и для всех пар (i, j), для которых i j ,

индекс j является наименьшим. Произведем усечение данной ветви,

сохранив ее начальный отрезок до вершины j . Произведя операцию усечения каждой ветви, получим усеченное дерево.

10.5. Ограниченно-детерминированные функции

Детерминированная функция называется ограниченнодетерминированной, если она имеет конечный вес. Класс всех ограни- ченно-детерминированных функций обозначается РО.Д.К. Для ограни-

ченно-детерминированные функции усеченное дерево будет конечным. Если в этом усеченном дереве произвести отождествление вершин с одинаковыми номерами, то получим диаграмму Мура.

Пример. Для z x y имеем k 2, N 4. Очевидно, что

99