Запишем эти уравнения в спрессованном виде, т.е. умножим второе уравнение |
|||||||||||||||||||||||
на |
= √ |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̈− |
|
̇− |
= 0. |
= |
+ |
: |
|
|
|||
|
и введем комплексную |
Ω |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
После подстановки |
± или − |
|
|
приходим к уравнению частот |
|
|
|||||||||||||||||
При |
Ω |
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ω |
= Ω |
|
|
|
|
− Ω |
+ |
= 0. |
|
|
|
|
|
|||||
Его корни |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
− |
|
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
> 4 |
|
||||||||||
и |
|
|
|
|
, |
|
|
в исходных переменных при С |
А углы |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
характеризующие положение оси волчка, гармонически изменяются со |
||||||||||||||||||||||
временем, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|||
Выполним обратный переход от комплексной переменной u углам |
|||||||||||||||||||||||
После подстановки |
этих выражений в одно из уравнений получим, что ампли- |
||||||||||||||||||||||
= cos( |
|
|
+ |
), |
|
= sin( |
+ |
). |
|
|
|||||||||||||
тудные множители равны: |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, |
волчок |
консервативно устойчив при выполнении условия |
|||||||||||||||||||||
|
= |
+ |
) + |
cos( |
+ |
), |
|
|
|||||||||||||||
С |
> 4 |
|
|
|
|
|
= |
|
cos( |
|
|
|
|||||||||||
вий. |
, |
|
|
|
, |
|
, |
|
= |
|
sin( |
|
|
+ |
) + |
sin( |
+ |
), |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
– постоянные величины, определяемые из начальных усло- |
||||||||||||||
Литература
1.Пойа Д. Как решать задачу. – М.: Учпедгиз, 1961. – 208 с.
2.Самостоятельная работа студентов при решении задач по физике: Методические указания / Сост. Ф.П. Кесаманлы, В.М. Коликова – Л., 1987. – 32 с.
3.Зернов Б.С. Сборник задач по теоретической механике. Ч.2. Динамика. – М.-Л.: Гос. научно-техническое изд-во, 1931. – 168 с.
4.Балаш В.А. Сборник задач по курсу общей физики. – М.: Просвещение, 1978. – 208 с.
5.Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. – М.: Наука, 1971.
–312 с.
6.Сборник задач по аналитической механике: Учебное пособие / Сост. Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко – М.: Наука, 1980.
–320 с.
7.Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике. – СПб.: Изд-во «Лань», 1998. – 448 с.
60