Примеры:

S (x,y): S⁺ R

A(x):

Утверждения:

n-местный предикат , заданный на множествах будет:

1. Тождественно-истинным тогда и только тогда, когда ;

2. Тождественно-ложным тогда и только тогда, когда ;

3. Выполнимым, тогда и только тогда, когда ;

4. Опровержимым, тогда и только тогда, когда

Примеры:

P(x): “x – простое число” определен на множестве N (натуральных чисел), а множество – множество всех простых чисел.

Q(x): определен на множествеR, множество истинности

F(x): «диагонали параллелограмма x перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, множество истинности – множество всех ромбов.

§ 4. Равносильность предикатов

Определение. Два n-местных предиката , и заданных над одними и теми же множествами называютсяравносильными тогда и только тогда, когда их множества истинности совпадают:

Равносильность предикатов P и Q будем обозначать P↔Q.

Переход от предиката к равносильномуназываетсяравносильным преобразованием.

Определение. Предикат , заданный на множествахназываетсяследствием предиката , заданного над теми же множествами тогда и только тогда, когда P⁺ Q⁺.

Q – следствие P записываем так: P Q.

Теорема. Каждые два тождественно истинных предиката, заданных на одних и тех же множествах, равносильны.

Обратно, всякий предикат, равносильный тождественно истинному предикату, сам является тождественно истинным предикатом.

Пример 1

1. –одноместный предикат P(x), P⁺={-4}.

2. При выполняется равенство. Не является предикатом, это – ложное высказывание.

3. . Предложение является одноместным предикатом P(x), P⁺={1}.

4. Существует такое число x, что . Не является предикатом. Истинное высказывание.

5. –P(x), P⁺= (3, +∞).

6. Однозначное число x кратно 3 – P(x), P⁺={0, 3, 6 , 9}.

7. –не предикат.

8. –P(x, y) – двухместный предикат, P⁺= {(0; 0)}

Пример 2. Какие предикаты тождественно истинные:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. при не тождественно истинный.

§ 5. Логические операции над предикатами Отрицание предиката

Определение. Отрицанием предиката   P(x)   называется новый предикат   ,   который принимает значение «истина» при всех значениях , при которых предикат  P(x) принимает значение «ложь» и принимает значение «ложь» при тех значениях , при которых предикат  P(x)   принимает значение «истина».

Из этого определения следует, что .

Определение. Отрицанием n-местного предиката , определенного на множествахназываетсяn-местный предикат, определенный на тех же множествах, обозначаемый , который превращается в истинное высказывание при всех тех значениях предметных переменных, при которых исходный предикат превращается в ложное высказывание.

То есть, предикат таков, что для любыхвыказываниеявляется отрицанием высказывания.

Примеры:

, отрицанием одноместного предиката является , определенного на множествеR.

, .

Теорема. Для n-местного предиката , определенного на множествах, множество истинности его отрицаниясовпадает с дополнением множества истинности данного предиката:. Дополнение рассматривается в множествах, то есть.

Доказательство

Согласно определению:

Следствие. Отрицание предиката будет тождественно истинным тогда и только тогда, когда исходный предикат будет тождественно ложным.

Доказательство

–тождественно истинный предикат, определен на множествах , тогда.

По теореме имеем:

.

Отсюда .

Так как если , то, значит предикаттождественно ложен.

Примеры:

есть любой из равносильных ( ) предикатов:

–тождественнно истинный предикат, задан на множестве R.

Отрицание предиката также определенного наR:

и т.д.

Конъюнкция двух предикатов

Определение. Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x)&Q(x), который принимает значение истина при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Пример 1. Конъюнкцией двух одноместных предикатов иопределенных наR, будет одноместный предикат , который может быть записан:, который равносилен предикату

Пример 2. Конъюнкция двух одноместных предикатов и, заданных наR, является двухместный предикат , заданный наR, равносилен предикату , определенному наR.

Теорема. Для n-местных предикатов и, определенных на множествах, множество истинности конъюнкциисовпадает с пересечением множеств истинности исходных предикатов:

Доказательство:

Следствие. Конъюнкция двух предикатов тождественно истинна тогда и только тогда, когда оба данных предиката тождественно истинны.