§ 14. Решение примеров

A (х): «х не делится на 5»;

B (х): «x - четное число»;

С(х): «х - число простое»;

D(х): «х кратно 3».

Найдите множества истинности предиката:

Решение:

Область истинности для предиката = M{5, 10, 15, 20}

Область истинности для предиката : M = M{3, 6, 9, …, 18}

Область истинности для заданного предиката

⁺ = ()⁺ = M{5, 10, 15, 20} M{3, 6, 9, …, 18} =

= {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19}

Найдите множества истинности предиката: (x).

Решение:

Область истинности для предиката = M{5, 10, 15, 20}

Область истинности для предиката: = {2, 4, 6, …, 20}

Область истинности для заданного предиката

⁺ = ⁺ =()⁺ =(M=

== {2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}

Решение

(x – 3)(x – 2) ,

То есть область истинности предиката есть совокупность двух открытых полусегментов:

= (-

По определению

Предикат опровержимый для всехна , следовательно, высказывание = 0.

Решение

, , т.е.= (-

Т.к , то

= 1, на (-– выполним

Решение

D = – 4a, т.е P(x) -выполнимый, при a, при D

и P(x) –тождественно ложный, при a , приD 0, т.к тогда уравнение не имеет корней.

По теореме Виета из уравнения имеем

При D рассмотрим все случаи:

A(n): « число n делится на 3 »,

B(n): « число n делится на 2 »,

C(n): « число n делится на 4 »,

D(n): « число n делится на 6 »,

E(n): « число n делится на 12 ».

Укажите, какие из следующих утверждений истинны, какие ложны:

;

;

;

;

;

;

.

Решение примеров:

Область истинности для предиката

Область истинности для предиката

Область истинности для предиката

Область истинности для предиката :

=

Области истинности для предикатов исовпадают и равны:

=

Тогда

Таким образом, утверждение истинно

Область истинности для предиката

Область истинности для предиката

Область истинности для предиката

Область истинности для предиката :

=

Тогда

Таким образом, утверждение - ложно

Доказательство:

Так как – предикатная переменная, подставим вместо нее конкретный предикат и докажем, что:

По определению:

Пусть , тогда предикатA(x) – тождественно-истинный, отсюда – тождественно-ложный предикат, отсюда по определению связывания квантором существования по переменнойx предиката B(x) получаем выказывание

Отсюда следует, что высказывание , значит отрицание этого высказывания является истинным:

Пусть (*)

По определению:

Из (*) следует, что – опровержимый предикат, тогда его отрицание - выполнимый предикат.

Тогда высказывание (**)

А отрицание высказывания (**) равно нулю:

Доказать следующую равносильность:

Доказательство:

По определению

(*)

1)Предположим, что

Тогда по определению (*),

–опровержимый, т.е.

-предмет, при котором . Получаем

,

Т.к. , что, то- доказуемый предикат, т.е.

Тогда при

Следовательно

При

2) Предположим, что

Тогда по определению (*),

–тождественно истинный, т.е.

-предмет, при котором . Получаем

Если , то значениеc не важно

Если c=1, то значение не важно

Т.к. , что, то- доказуемый предикат, т.е.

Тогда при

Следовательно

При

Доказать следующую равносильность:

1.

Законы де Моргана для кванторов

Доказательство.

Данная формула замкнута, т.е. не имеет свободных предметных переменных. Поэтому подставим в эту формулу вместо предикатной переменной любой конкретный одноместный предикат, определенный на некотором множестве М=>получим высказывание

(*)

-тавтология

Для доказательства его истинности (*) нужно убедиться, что обе части эквивалентности одновременно истинны или одновременно ложны. В самом деле, высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказываниеложно, что возможно, на основании определения, тогда и только тогда, когда предикат-опровержим:

Далее, опровержимость предиката означает выполнимость предиката, что равносильно истинности высказывания(по определению)

Итак, высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказываниеистинно. Следовательно, высказывание (*) истинно, что и доказывает тождественную истинность первой формулы.

Решение:

:

Решение: