ЛабРаб-6

1. Эрмитовы кубические сплайны

Пусть на сетке заданы значения .

Определение. Эрмитовым кубическим сплайном называют функцию , удовлетворяющую условиям:

1. , для ,

2. , (т.е. непрерывны и во внутренних узлах),

3. , , .

Эрмитовы сплайны являются локальными. Для их вычисления на отрезке достаточно использовать третье условие определения: , , , , , тогда на отрезке можно записать: , где , .

2. Кубические нелокальные сплайны

Пусть на сетке заданы , .

Определение. Функция называется кубическим сплайном, интерполирующим функцию в узлах сетки , если выполняются следующие условия:

1. , для ,

2. , (т.е. непрерывны , , во всех внутренних узлах),

3. , .

Легко показать, что этими условиями сплайн определяется неоднозначно, а именно, кубический сплайн, удовлетворяющий данному определению, имеет еще 2 свободных параметра. На каждом из N отрезков сплайн определяется 4-мя коэффициентами, итого, на всего коэффициентов. Условие 2): дает равенств. Условие интерполяции 1) дает соотношение.

Итого: соотношения.

Два недостающих дополнительных условия, как правило, задаются в виде краевых условий, определяющих значение сплайна или его производных на концах отрезка :

1. .

2. .

3.  – в этом случае говорят о периодическом сплайне.

4. , .

3. Построение кубического сплайна через наклоны

Кубический сплайн можно рассматривать как Эрмитов сплайн, удовлетворяющий условиям:

, ;

;

.

Вводя обозначение: – наклоны, , по построению:

Имеем систему 2^х уравнений с двумя неизвестными a_i и b_i, решая эту систему

получаем выражение для b_i:

и коэффициента a_i:

Из 2-ого условия определения кубического сплайна, а именно, непрерывности 2^ой производной на , в том числе и в узлах сетки: на ; на .

Обозначим ; отсюда . Имеем систему N – 1 уравнения с N + 1 неизвестным :

.

Следовательно, надо добавить 2 уравнения:

1 краевое условие: , тогда .

2 краевое условие:

3 условие периодичности:

Имеем уравнение при и .

4 краевое условие:

получим

Обозначим .

умножим 1-ое уравнение на и вычтем из второго:

отсюда

Т.о.

обозначим

умножим 1-ое уравнение на , сложим 2-ое с 1-ым, получим:

Имеем:

Итак, в случае краевых условий 4-ого типа имеем:

;

;

.

4. Построение кубического сплайна через моменты

Моментами называются

но

.

Отсюда: , тогда

.

Из условия непрерывности первой производной для в узлах , имеем:

Для полученной замкнутой системы для определения моментов нужно добавить краевые условия:

1. .

;

Отсюда

2. .

3. Периодические условия:

4. , ; .

. Обозначим . Отсюда

.

Первое уравнение системы имеет вид:

.

Умножим 1-ое уравнение на и вычтем из 2-го уравнения:

Итак,

Краевое условие:

. Обозначим .

-ое уравнение системы имеет вид:

.

Умножим 1-ое уравнение на и сложим со 2-ым:

Итак,

5. Дифференцирование и интегрирование кубического сплайна

1. Если сплайн определен через наклоны , то вычисление не представляет труда, т. к.

;

;

;

2. Если сплайн определен через наклоны , то

;

;

;

6 Варианты заданий

Построение сплайна через наклоны

1й тип краевых условий	2-й тип краевых условий	4-й тип краевых условий
1	9	17	Задача интерполирования, данные из лаб. раб. 1
2	10	18	Задача интегрирования, данные из лаб. раб. 4
3	11	19	Задача дифференцирования (первая производная), данные из лаб. раб. 1
4	12	20	Задача дифференцирования (вторая производная), данные из лаб. раб. 1

Построение сплайна через моменты

1й тип краевых условий	2-й тип краевых условий	4-й тип краевых условий
5	13	21	Задача интерполирования, данные из лаб. раб. 1
6	14	22	Задача интегрирования, данные из лаб. раб. 4
7	15	23	Задача дифференцирования (первая производная), данные из лаб. раб. 1
8	16	24	Задача дифференцирования (вторая производная), данные из лаб. раб. 1

в поле таблицы номер варианта.