Геометрический смысл комплексного числа

Комплексное число изображается в плоскоститочкойс координатамилибо вектором, начало которого находится в точке, а конец в точке(рис. 1.3).

Длина вектораназываетсямодулем комплексного числа и обозначается

(2.3)

Рис. 2.1

Угол , образованный положительным направлением оси ОХ и вектором, называетсяаргументом комплексного числа и обозначается , где –главное значение аргумента, . Главное значение аргумента комплексного числа может быть найдено с помощью формулы:

(2.5)

Если в алгебраической форме записи комплексного числа вместо декартовых координат точки подставить их полярное представление (1.4), то получим тригонометрическое представление комплексного числа.

Определение. Каждое комплексное число, отличное от нуля, можно записать в тригонометрической форме

(2.6)

где .

С помощью формулы Эйлера:

(2.7)

каждое комплексное число может быть записано в показательной форме

. (2.8)

Число называетсясопряженным комплексному числу .

Выполняются следующие равенства: ; ;

;

Аналогично доказывается, что ;;.

Важно знать, что (2.9)

Операции над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Определение. Два комплексных числа называются равными, если у них совпадают действительные и мнимые части, т.е. , еслии.

1. Сложение и вычитание

Действие сложения и вычитания комплексных чисел ипроизводится по правилу сложения и вычитания двучленов

.

Группируя отдельно действительную и мнимую части, получим формулу:

(2.10)

2. Умножение.

Действие умножение комплексных чисел ипроизводится по правилу умножения двучленов

раскроем скобки

используя формулу (2.2) и группируя действительные и мнимые слагаемые, получим выражение:

(2.11)

3. Деление.

Чтобы преобразовать дробь в комплексное число, необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряжённое к знаменателю, в числителе произвести действие умножения, а для знаменателя воспользоваться формулой (2.9)

:

(2.12)

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической или в показательной форме

1. Умножение:

При умножении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули перемножаются, а аргументы складываются: .

(2.13)

(2.14)

Докажем формулу (2.14). Пусть ,.

;

2. Деление:

При делении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули делятся, а аргументы вычитаются: ,.

(2.15)

(2.16)

Лекция 3

Понятие многочлена, корни многочленов, кратность корня, основные теоремы алгебры, следствия из теорем.

3. Возведение в степень.

Для возведения комплексного числа в целую положительную степень применяют формулу Муавра:

(3.1)

Данная формула является следствием формулы (2.14).

Пример. Возвести комплексное число в степень: 1) .

Решение. 1. Пусть , тогда для комплексного числа в числителе и знаменателе найдем модуль и аргумент и перепишемв показательной форме, имеем, значит,а,,,, тогда получим

4. Извлечение корня порядка .

Определение. Корнем -й степени из комплексного числа называется комплексное число, такое что, где- натуральное число. Обычно используется обозначение.

Корень -й степени из комплексного числа имеетразличных значений, которые находятся по формуле Муавра-Лапласа:

(3.2)

Или через показательную форму

(3.3)

Где .

Точки, соответствующие являются вершинами правильного– угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом.

Способ построения для (рис.3.1):

1. Из начала координат описываем окружность радиуса .

2. Если то из начала координат проводим луч под угломк положительному направлению. Пересечение луча с окружностью дает точку.

3. Вписываем в окружность правильный – угольник, одна из вершин которого найденная точка. Точки пересечения– угольника и окружности есть решения.

Рис. 2.2

Пример. Найдем все значения .

Решение. Тригонометрической формой числа 1 является: .

Значениями являются числа:, различными будут лишь корни при следующих значениях , ;;.

Полученные значения являются вершинами правильного треугольника вписанного в окружность радиуса .

Пример. Корни -ой степени из единицыесть вершины правильногоn-угольника, вписанного в единичный круг.

Определение. Многочленом одной переменной называется функция , где- действительные или комплексныекоэффициенты, а - целое неотрицательное число. Если,называютстепенью многочлена и обозначают , а-старшим коэффициентом. Многочлен называетсянулевым, если все его коэффициенты равны нулю. Коэффициент прив нулевой степени называютпостоянным или свободным членом.

Многочлены степени называются соответственнолинейными, квадратичными (или квадратными), кубичными и т.д. В дальнейшем рассматриваются только действительные коэффициенты .

Определение. Корнем многочлена называется такое, при котором .

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен положительной степени имеет, по крайней мере, один корень действительный или комплексный.

Деление многочленов. Из курса элементарной алгебры известен метод деления уголком для целых чисел, аналогичный алгоритм имеет место и для многочленов.

Пусть даны два многочлена: и, гдеи, тогда многочленусопоставляется одна и только одна пара многочленов, для которых,,называютчастным деления, а -остатком.

Если , тогда говорят, чтоделится на .

Если многочлены имеют действительные коэффициенты, то итакже имеют действительные коэффициенты.

Пример. Проверить, делится ли многочлен на.

Решение. Разделим многочлены столбиком, т.е.

_

_

_

:

Итак, многочлен делится наи может быть представлен в виде.

Теорема Безу. Число является корнем многочленатогда и только тогда, когдаделится на линейный многочлен ().

Доказательство. В результате деления на () имеем. Степень, значит тогда подставим в, получим, следовательнои.

Теорема. При делении на, остаток, т.е..

Пример. Проверить, делится ли многочлен на.

Решение. Разделим многочлены столбиком, т.е.

_

_

_

_

;

степень остатка меньше степени делителя, останавливаем деление.

Итак, многочлен не делится наи может быть представлен в виде.

Проверить, правильно ли выполнено деление можно, используя предыдущую теорему, согласно которой , действительно,, значит деление выполнено правильно.

Определение. Число называется–кратным корнем многочлена , еслиделится на, но не делится на. Корень кратностиназываютпростым корнем.

Теорема. Если - корни многочленастепени– кратностисоответственно и, тогда, где– многочлен степени (такой, что.

Доказательство данной теоремы следует из теоремы Безу.

Правило определения кратности корня

Пусть – корень кратностимногочленастепени, тогда

, где и

, где , продолжая вычислять производные на– ом шаге получим,

, т.к. , следовательно, ,тогда можно предложить следующее правило для вычисления кратности корня многочлена.

Для того чтобы определить кратность корня многочлена, вычисляем значения производныхв точкеи как только, тогда- кратность корня.

Лекция 4

Векторная алгебра. Понятие вектора, координаты, модуль вектора. Линейные операции над векторами. Базис

Цель: Изучить понятие вектора, равенства векторов, как определяются координаты вектора его модуль, линейные операции над векторами и их свойства, понятие базиса.

Определение. Направленный отрезок (упорядочивающий пару точек) будем называть вектором и обозначать ,, где точкуназываютначалом вектора, а – егоконцом (рис.4.1).

Необходимо знать, что в печатных изданиях часто векторные величины и векторы обозначают жирным шрифтом, без стрелки

В

В

ектор, у которого начало и конец совпадают, будем называтьнулевым вектором

А

Рис. 4.1

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, модулем или абсолютной величиной вектора и обозначают ,.

Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой эти векторы параллельны, пишут . Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными (направлены в одну сторону), и противоположно направленными. Обозначается соответственно,.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору т.к. не имеет направления.

Свойство. Если вектор коллинеарен ненулевому вектору, то существует действительное числотакое, что.

Определение. Два вектора считаютсяравными, если выполнено три условия: 1) их модули равны, 2) они параллельны, 3) направлены в одну сторону.

О равенстве векторов стоит поговорить отдельно, т.к. оно существенно отличается от равенства чисел. Два равных числа могут рассматриваться как одно и тоже. С векторами все иначе.

Из курса физики известно, что сила может быть изображена вектором. Но, силы изображаемые равными направленными отрезками производят, вообще говоря различные действия. Так сила действующая на упругое тело изображается направленным отрезком, который не может быть никуда перенесен из данной точки. Т.е. он характеризуется направлением и точкой приложения и называется приложенным вектором.

Сила действуещая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором, который может быть перенесен не в любую точку пространства, а лишь вдоль прямой на которой он лежит.

Все остальные равные вектора (множество направленных отрезков, равных данному) называются свободными векторами, с которыми мы и будем работать.

Линейные операции над векторами

Определение. Суммой называется вектор, который может быть найден по следующим правилам (рис.4.2).

Свойства сложения векторов:

1) , (коммутативность);

2) , (ассоциативность);

3) прибавление нулевого вектора к любому другому не меняет последнего ;

4) вектор, противоположный вектору , обозначается. Их сумма дает нулевой вектор.

Правило треугольника Правило параллелограмма

Рис. 4.2

Определение. Разность есть сумма(рис.4.3).

Рис.4.3

Определение. Произведением вектора на вещественное числоназывается любой вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

а) вектор коллинеарен вектору;

б) ;

в) векторы инаправлены одинаково еслии противоположно направлены если

Свойства умножения вектора на число

1. Для любых действительных чисел и любого вектораверно равенство.(ассоциативность)

2. Умножение векторов на число дистрибутивно относительно сложения чисел

(дистрибутивность).

3. Умножение векторов на число дистрибутивно относительно сложения векторов

4. .

Применяя линейные операции над векторами мы можем составлять суммы векторов умноженных на некоторые вещественные числа.

Определение. Выражение вида , где– произвольные постоянные, называетсялинейной комбинацией векторов .

С помощью введенных выше линейных операций мы можем преобразовать выражения, составленные из линейных комбинаций: раскрывать скобки, приводить подобные члены, переносить некоторые слагаемые в другую часть равенства с противоположным знаком.

Свойства линейной комбинации

1. Если – параллельны, то каждая их линейная комбинация параллельна им.

2. Если – компланарны, то каждая их линейная комбинация компланарна с ними.

Определение. Пусть дана линейная комбинация , еслитолько при условии, что, тогда линейная комбинация векторов называетсятривиальной линейной комбинацией, если , и существует хотя бы один, то–нетривиальная линейная комбинация.

Определение. Если существуют такие , что– нетривиальная линейная комбинация, то говорят, что-линейно зависимы. В противном случае, т.е. если – тривиальная линейная комбинация, то–линейно независимы.

Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Необходимость. Докажем, что если векторы линейно зависимы, то один из них является линейной комбинацией остальных. Поскольку векторы линейно зависимы, то, согласно определению, существует, при котором.

Пусть , тогда. Т.е. векторявляется линейной комбинацией остальных.

Достаточность. Докажем, что если один из векторов является линейной комбинацией остальных, то векторы линейно зависимы. Пусть– линейная комбинация остальных векторов, тогда– линейно зависимы, посколькупри том, что.

Теорема.

1. Если хотя бы один из векторов , является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.

2. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарные.

3. Каждые три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно зависимых вектора компланарны.

4. Каждые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. (Приведем доказательство 1–го и 2–го утверждений теоремы, остальные доказываются аналогично).

1. Поскольку среди векторов есть нулевой, значит, в их линейной комбинации перед нулевым вектором может стоять любой ненулевой элемент, а перед остальными векторами будут стоять нулевые элементы, это и означает линейную зависимость векторов.

2. Докажем, что если два вектора коллинеарны, то они линейно зависимы. Если хотя бы один из векторовнулевой, то они линейно зависимы в силу предыдущего утверждения теоремы.

Если оба вектора ненулевые, то из свойства коллинеарности векторов следует, что существует действительное числотакое, чтоили, посколькуиотличны от нуляилинейно зависимы.

Докажем теперь, что два линейно зависимых вектора ­- иколлинеарны. Посколькуилинейно зависимы, следовательно, по определению, существуют действительные числаи, хотя бы одно из них отлично от нуля, такие, что, пусть, тогда, пусть, имеем, согласно свойству произведения вектора на число, это и означает коллинеарность векторови.

Базис.

Определение. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор лежащий на этой прямой или коллинеарный с ней.

Определение. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора лежащих на этой плоскости или параллельных ей, взятые в определенном порядке.

Определение. Базисом в пространстве называют три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

Определение. Говорят, что три линейно независимых вектора образуютбазис в пространстве , если каждый вектор этого пространства можно представить как линейную комбинацию этих векторов, т.е.. Числаназываются координатами векторав базисеи векторобычно записывают как.

Выражение называется линейной комбинацией вектора или разложением по базису.

Запись называется координатной формой записи вектора.

Равные векторы в одном базисе имеют равные компоненты.

При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число, т.е. если , то=.

При сложении двух векторов их координаты, стоящие перед соответствующими базисными векторами, складываются, т.е. =.

Утверждение. Любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис пространства.

Любые два неколлинеарных вектора на плоскости, взятые в определенном порядке, образуют базис на этой плоскости.

Любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, образует базис на этой прямой.

Теорема.

1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.

2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости.

3. Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве.

4. Компоненты вектора в каждом случае определяются однозначно.

Доказательство.

1. Поскольку вектор, параллельный прямой, и вектор, лежащий на прямой, ненулевые, существует число α такое, что положим, что.

2. , векторявляется диагональю параллелограмма, построенного на векторах.

3. , векторявляется диагональю параллелепипеда, построенного на векторах.

4. Доказательство единственности разложения вектора по определенному базису будем вести от противного.

Пустьи, тогда

.

П

усть– противоречие некомпланарности векторов.

Определение. Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса и некоторой точкой, называемой началом координат.Аффинными координатами точки М называются координаты вектора (относительно базиса).

Определение. В случае декартовой прямоугольной системы координат базисом являются векторы единичной длины, лежащие на координатных осях и сонаправленные с ними,,,. Векторы взаимно ортогональныи их модули равны единице.

Т.е. векторы являются ортонормированным базисом декартовой системы координат. Базисные векторы имеют координаты,,.

Тогда каждый вектор может, и притом единственным образом, быть разложен по декартовому прямоугольному базису, т.е. существует такая тройка чисел, что справедливо равенство,– декартовы прямоугольные координаты, где,тогда,,где– углы между вектороми осямисоответственно (рис. 4.5), а косинусы называются направляющими косинусами вектора.

Рис. 4.5

Лекция 5

Проекция вектора и ее свойства. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение векторов

Цель: Изучить понятие проекции и ее свойства, методику деления отрезка в данном отношении, скалярное произведение векторов, его свойства, физическое приложение.

Определение. Проекцией вектора на вектор, обозначаетсяназывается число, равноегде– угол между векторамии(рис.5.1).

B

О

пр

Рис. 5.1.

Свойства проекции

1. Проекция суммы векторов равна сумме проекций составляющих (рис. 5.2).

Рис. 5.2

2) Проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию данного вектора (рис. 5.3).

Рис 5.3.

Теорема. Чтобы найти компоненты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала, т.е.

, где ,(рис. 5.4).

Рис. 5.4

Найдем координаты точки , которая делитв отношении(). Отношение, в котором произвольная точкаделит отрезок(Рис. 5.5) удовлетворяет равенству.

Рис.5.5.

Пусть , а, тогда разложим обе части равенства по базису, тогда,,

т.к. , следовательно

. (5.1)

Когда делит отрезок пополам, имеем:

. (5.2)

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр) равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(5.3)

где - угол между векторами. Обозначают скалярное произведение как.

Т.к. , то скалярное произведение можно вычислить по формуле

или(5.4)

Физический смысл скалярного произведения: работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения. .

Свойства скалярного произведения

1) (коммутативность).

Непосредственно следует из коммутативности произведения чисел;

2) (дистрибутивность).

Для доказательства этого свойства воспользуемся линейным свойством проекции и формулой, связывающей скалярное произведение и проекцию. Поскольку и , тогда

= ;

2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора:

(5.5)

Выполняется для любого вектора , следует из определения, поскольку уголмежду векторомиравен нулю, тогда;

4) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения

где - произвольное действительное число.

Доказывается по аналогии со свойством 2. Поскольку и , тогда ;

5) Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

(5.6)

Доказательство. Докажем, что если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Действительно, если иортогональны, следовательно,- угол между векторамиравен, тогда, тогда из определения следует, что.

Докажем теперь, что если скалярное произведение векторов равно нулю, то они ортогональны. Пусть оба вектора ненулевые, (т.к. в противоположном случае доказательство тривиально, поскольку нулевой вектор не имеет определенного направления и его можно считать ортогональным любому вектору). Тогдаи, поэтомутолько в том случае, если, т.е. векторыдолжны быть ортогональны.

6) векторы ортонормированного базиса декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют соотношениям:

, т.к. векторы попарно ортогональны .

Если базисные векторы ортогональны, то для каждого вектора координаты в данном базисе будут равны:, поскольку – ортонормированный базис, тогда .

Геометрический смысл скалярного произведения: с помощью скалярного произведения можно вычислить проекцию вектора на вектор, и косинус угла между векторами:

(5.7)

(5.8)

Теорема. Если базис ортонормированный и ,, то

(5.9)

где – координаты векторов в ортонормированном базисе.

Доказательство. Поскольку и, тогда найдем скалярное произведение векторов используя свойства дистрибутивности и ассоциативности:

=

=

.

Следствие. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов иявляется условие.

Следствие. Длина (модуль) вектора равна.

Следствие. , где- угол между векторами.

Следствие. Если , тогда:

.

Лекция 6

Векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов, основные свойства. Условия ортогональности, коллинеарности, компланарности векторов.

Цель: Изучить векторное и смешанное произведение векторов, их свойства, методы вычисления, условия ортогональности, компланарности и коллинеарности векторов.

Определение. Векторным произведением двух векторов , обозначаютназывается векторудовлетворяющий трем условиям:

1) Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах

(6.1)

2) Вектор ортогонален перемножаемым векторам: т.е. ортогонален плоскости построенного на этих векторах параллелограмма

3) составляют правую тройку векторов (рис.6.1).

Рис. 6.1

Свойства векторного произведения

1) (антикоммутативность)

Свойство следует из перемены ориентации векторов;

2) Скалярный множитель можно вынести за скобку ;

3) (дистрибутивность);

4) Векторный квадрат равен нуль-вектору:

(6.2)

Свойство непосредственно вытекает из определения векторного произведения

Теорема. Чтобы векторы ибыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

(6.3)

Доказательство. Докажем, что если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю. Действительно, т.к. векторы иколлинеарны, значит, уголмежду ними составляетлибо. Тогда, т.е. длина вектора, полученного в результате перемножения коллинеарных векторов, равна нулю, это возможно только у нулевого вектора.

Докажем теперь, что если векторное произведение равно нулю, то векторы коллинеарны. Пусть оба вектора иненулевые (в противном случае доказательство тривиально), тогдаи, поэтомутолько в том случае, если, т.е. векторыдолжны быть коллинеарны.

Теорема. В ортонормированном базисе декартовой прямоугольной системы координат компоненты векторного произведения могут быть вычислены по формуле:

(6.4)

где ,.

Доказательство. Поскольку и

, ,,,,

тогда

=(учитывая выше записанные равенства, упрощаем полученное выражение)

.

Вместо можно взять любой ортонормированный базис.

Теорема (о коллинеарных векторах). Если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны:

(6.5)

Доказательство. Пусть и, т.к. вектор коллинеарен , тогда ,согласно предыдущей теореме, выполняются равенства , получаем пропорцию .

Геометрический смысл векторного произведения

Поскольку , то значение длины векторного произведения совпадает с значением площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах.– площадь параллелограмма, построенного на векторахкак на сторонах.

–площадь треугольника, построенного на векторах .

Пример. Найти площадь треугольникапостроенного на векторахи, если;;.Решение.

Смешанное произведение

Определение. Под смешанным произведением векторов подразумевают число обозначаемоеи получающееся в результате скалярного произведения векторана векторное произведение.

Теорема (геометрический смысл смешанного произведения). Смешанное произведение трех некомпланарных векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях.

, причем - имеет знак «» еслиобразуют правую тройка и «» если- левая тройка.

Доказательство.

–объем параллелепипеда, где – площадь основания, – высота параллелепипеда, - угол между вектороми вектором(рис. 6.2), тогда .

Рис. 6.2

Следствие. – объем пирамиды.

Свойства смешанного произведения

1) , данное свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде. Действительно, из коммутативности скалярного произведения следует, что, докажем, что, равенство очевидно, поскольку и справа, и слева стоит объем параллелепипеда, построенного на одних и тех же векторах, знаки совпадают, поскольку векторы- имеют одинаковую ориентацию;

2) При перестановки местами двух соседних множителей, смешанное произведение меняет знак на противоположный

.

Данное свойство следует из антикоммутативности векторного произведения.

3) . Действительно, т.к. выполняется первое свойство, тогда , согласно линейным свойствам скалярного произведения, получаем равенство.

Теорема (смешанное произведение векторов в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе смешанное произведение может быть вычислено по формуле:

(6.6)

Доказательство. Действительно, смешанное произведение равно скалярному произведению векторов и, поскольку координаты, для скалярного произведения векторов в координатах получим=(т.к. четное число перестановок не меняет знак определителя) =

Теорема (о компланарных векторах). Для того, чтобы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е. выполняется равенство:

(6.7)

В самом деле, если векторы компланарны, то они по определению лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, следовательно, объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, будет равен нулю, учитывая запись смешанного произведения в координатной форме, получаем требуемое равенство. В обратную сторону доказательство аналогично.

Следствие. Смешанное произведение трех векторов два из которых совпадают, равно нулю, например, .

Действительно, поскольку такие векторы заведомо компланарны, их сшешанное произведение будет равно нулю.

Определение. Вектор – называетсядвойным векторным произведением.