ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: Дегтярева Н.Е.	Идентификационный номер:	Контрольный экземпляр находится на кафедре Алгебры, геометрии и анализа	Лист стр. 144из154

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

(ДВФУ)

<Школа естественных наук>

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

Аналитическая геометрия и алгебра

160100.65 – Самолето и вертолето строение

г. Владивосток

2012

Лекция 1

Конечные суммы и их свойства. Вычисление определителя

и . Системы координат: декартовая, полярная.

Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.

В математике часто рассматривают суммы большого числа слагаемых которые имеют один и тот же вид, но различаются индексами. Для них используют символ суммы (от латинского слова). Под символом суммы ставится «индекс суммирования» (любая буква) и значение от которого наш индекс изменяется (некоторое целое число) сверху над символом ставится значение, до которого данный символ изменяется – это пределы суммирования. После символа суммы ставится суммируемое выражение.

Определение. Символ , после которого стоит некоторое выражение, содержащееиндекс , обозначает сумму этих выражений для всех значений индексаотдои называетсяконечной суммой и записывается или.

Здесь символ - индекс суммирования, интервал- интервал суммирования,- суммируемое выражение.

Очевидно, что вместо может быть взята любая другая буква, т.е.. Если или, то значение суммы равно нулю.

Примеры:

1) ;

2)

Замечание. Иногда вместо пишут, тогда символозначает сумму всех таких, что целое числоудовлетворяет условиям. Если таких целыхнет, сумма считается равной. Наконец, есливключает два или больше условий, это означает, что все условия должны выполняться одновременно.

Свойства конечных сумм

1);

2);

3),

где двойная сумма может быть записана как ;

4) ;

5) , (замена индекса). Причем- взаимно однозначная функция.

Иногда требуется записать сумму всех слагаемых кроме одного или двух. Если пропущено слагаемое с номером , это записывается в виде

Вычисление определителя

Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆,) которое сопоставляется квадратной матрице и может быть вычислено по ее элементам в соответствии со следующими правилами.

1. Детерминантом матрицы порядканазывается единственный элемент этой матрицы:

(1.1)

2. Для матрицы второго порядка мы имеем следующую формулу:

(1.2)

из произведения элементов главной диагонали вычитаем произведение элементов побочной диагонали.

3. Для определителя третьего порядка применяют следующее правило:

1) Правило параллельного переноса.

_(1.3)

т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки).

2) Правило треугольника.

_(1.4)

Системы координат

1. Декартова система координат.

Рис.1.1

Возьмем в пространстве произвольную точку и рассмотрим некоторую точку. Соединив эти точки мы получим вектор, который называется радиус-вектором точкипо отношению к точке. Если в пространстве выбрать какой-либо базис (рис 1.1), то точкеможно поставить в соответствие упорядоченную тройку чисел – компоненты ее радиус-вектора.

Определение: Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Итак, рассматриваем три взаимно ортогональные оси в трехмерном пространстве, исходящие из общей точки (начала координат и образующие правую тройку).

Рис.1.2.

Оси , , называются осями координат: абсцисса, ордината и аппликата. Плоскости , , называются координатными плоскостями, которые делят все пространство на октаны. Мы рассматриваем радиус-вектор точки .

Определение: Под декартовыми прямоугольными координатами точкипонимаются проекции ее радиус-вектора на соответствующие оси координат, т.е. ,,(рис.1.2.). Для краткости их просто называют прямоугольными координатами.

Легко видеть, что при заданной системе координат координаты точки определены однозначно. И наоборот, каждая упорядоченная тройка чисел определяет единственным образом точку в пространстве.

Радиус-вектор является диагональю параллелепипеда. Поэтому

(1.1)

Если обозначить через углы, образованные радиус-вектором с координатными осями (рис.1.2.), то будем иметь:

(1.2)

Эти косинусы называются направляющими косинусами радиус-вектора точки . Из (2), учитывая (1), получаем важное соотношение:

(1.3)

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов радиус-вектора точки пространства равна единице.

Из формулы (2) следует, что координата точки положительна, если радиус-вектор этой точки образует с осью острый угол, и отрицательна, если этот угол тупой.

Измерения параллелепипеда равны расстояниям точкисоответственно от координатных плоскостей , , .

Определение: Декартовые прямоугольные координаты точки пространства представляют собой расстояния от этой точки до координаты плоскостей, взятые с надлежащим знаком.

Кроме прямоугольной декартовой системы координат используют полярную систему координат. Эта система определена на плоскости, если существует точка , называемая полюсом и исходящий из этого полюса луч, который называется полярной осью.

Рис.1.3.

В данной системе положение точки фиксируется двумя числами: радиус-вектором точки и угломмежду полярной осью и вектором, т.е.

Угол называется полярным, отсчитывается от полярной оси в направлении против часовой стрелки. У плюса точки , а угол не определен. У всех остальных точек иизменяется в пределах отдо, измеряется в радианах.

Если мы поместим полярную систему координат полюсом в начало прямоугольной декартовой системы координат, то декартовы координаты будут выражаться через полярные по формулам:

(1.4)

Полярные координаты через декартовые выражаются соотношениями:

, (1.5)

Лекция 2

Комплексные числа и действия над ними

Определение. Комплексным числом называется выражение вида

(2.1)

(алгебраическая форма), где , а-мнимая единица, удовлетворяющая условию

(2.2)

называют действительной частью комплексного числа и обозначают ,называютмнимой частью комплексного числа и обозначают . Множество всех комплексных чисел будем обозначать через .