1.1.Опр. R кривизны вогн. пов-ти мет. шарика

Дальневосточный федеральный университет

Кафедра общей физики

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А № 1.1. КН. 1

Определение радиуса кривизны вогнутой

поверхности методом катающегося шарика

Владивосток

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Если поместим шарик на вогнутой поверхности, то положением равновесия для него является такое, при котором его центр тяжести находится в наиболее устойчивом положении.

Если выведем шар из положения равновесия, то он будет совершать колебания около этого положения. При отсутствии трения амплитуда колебаний его постоянна. Тогда движение шарика будет представлять собой простое гармоническое колебательное движение

D

D

C A

h

E

Рис.1 Рис.2

Напишем выражение для потенциальной энергии в конечной точке пути, в A или C (рис. 2). Представим, что шарик в конечных точках поднимается на высоту

h=FE над положением равновесия. Тогда потенциальная энергия его в точках С или А будет mgh, где m - масса шарика, g– ускорение свободного падения.

Опишем окружность АЕCDA, принимая точку В за центр кривизны вогнутой поверхности с радиусом R, равным расстоянию от центра шарика до центра кривизны поверхности В. Обозначим линейную амплитуду колебания, т. е. расстояние АF, на которое центр шарика передвигается в обе стороны от положения равновесия.

Тогда имеем: ЕF × DF = AF² или h(2R - h)=a^{2 (}1)

Ввиду того, что перемещения шарика малы дуга AEC и хорда АС почти равны и тогда дуга АЕ = АF и значения h настолько малы,

что 2R – h заметно не отличаются от 2R. Тогда равенство (1) перепишется

a² = h(2R – h) = 2Rh или h = (2)

Потенциальная энергия шарика в точках А и С может быть записана в виде:

mgh = mg (3)

Из выражения (3) видно, что потенциальная энергия шарика в конечной точке движения пропорциональна амплитуде, т.е. квадрату амплитуды, что наблюдается при простых гармонических колебаниях.

Запишем формулу для кинетической энергии шарика в момент прохождения через положение равновесия Е, если шарик катится без скольжения, то его кинетическая энергия складывается из двух частей: энергия поступательного движения центра тяжести и вращательного движения относительно центра тяжести.

Скорость движения центра при его прохождении через положение равновесия Е равна: V =, где T – период колебания шарика. Тогда кинетическая энергия поступательного движения: W_K = × ()²

Угловую скорость движения шарика можно найти из следующих соображений: т. к. не скользит, то точка, которая соприкасается с поверхностью, на мгновение остается неподвижной. Если шарик катится с угловой скоростью ω, то центр шарика должен двигаться вперед с линейной скоростью V = ωr, где r- радиус кривизны шарика. Следовательно, угловая скорость шарика при прохождении через точку Е равна: ω = =

Момент инерции шарика относительно центра: J = mr² . Тогда кинетическая энергия шарика вращения:

W = = ×mr² ω² = ×mr²()²

Общая кинетическая энергия шарика в точке Е равна:

Е_пол=m()²+ ×mr²()^{2 .}= m(1 + )× ()²

Из закона сохранения энергии у уравнений (3) и (4), имеем:

mg = ×× ()²m или =× ()²

Отсюда: T = 2π или R=×,

где R- расстояние центра шарика в точках А и С от центра кривизны вогнутой поверхности. Тогда радиус кривизны вогнутой поверхности равен:

R_k = R+r ,

где r- радиус шарика.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Привести в порядок вогнутое зеркало.

2. Определить штангенциркулем радиус шариков.

3. Определить по очереди периоды колебаний 3-х шариков на данной вогнутой поверхности.

Для определения периода колебаний шарик устанавливают по краю вогнутой поверхности и отпускают его, засекая секундомером время 10-12 полных колебаний. Затем, находят период по формуле: T= , t – время колебаний, n- число полных колебаний. Для каждого шарика провести 5 измерений T.

Данные для каждого шарика занести в таблицу измерений:

№	r	∆r	t	t	n	T= t/n	R	Rk = R+r
1
2
3
4
5
сред.

4. Вычислить абсолютную и относительную ошибку:

= (2+ )×100%;

(2+ );

5. Найти средние арифметические значения радиуса кривизны и погрешности, используя результаты, полученные для 3-х шариков.

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Изобразить графически действующие на шарик силы и найти результирующие силы для положений в точках 1, 2, 3.

1 3

2

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дать определение кривизны поверхности.

2. Сформулировать закон, который лежит в основе вывода формулы для расчета радиуса кривизны.

3. В чем состоит физический смысл момента инерции, каковы его единицы измерения?

4. Вывести формулу для радиуса кривизны поверхности.

5. Дать определение вращательного движения.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И.В. Курс общей физики Т.1 - М.: Наука, 2006 и посл. изд.

2. Зисман Г.А., Тодес С.М. Курс общей физики - М.: В.ш., 2000 и посл. изд.

3. Трофимова Т.И. Курс физики - М.: В.ш., 2002г. и посл. изд.

4. Суханова В.К., Суханов В.П., Плотникова О.В. Физические основы контроля качества изделий - Изд. ТГЭУ, 2001г. и послед. изд.

6