Образцы решения задач по векторной алгебре

Задание 1: Коллинеарны ли векторы и , разложенные по векторам и , где

Решение:

1. Вычислим проекции векторов на оси координат:

2. Два вектора коллинеарны, если их проекции на оси координат пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов на оси координат:

не коллинеарны.

Задание 2: Перпендикулярны ли векторы ?

Решение: Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0, скалярное произведение векторов, заданных проекциями на оси координат, вычисляется по формуле:, где вычислим скалярное произведение:

векторы не перпендикулярны.

Задание 3: Компланарны ли векторы ?

Решение: Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0, смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: , гдевычислим смешанное произведение векторов:

векторы не компланарны.

Задание 4: При каком значении векторы где , перпендикулярны?

Решение:

1) Для определения , при котором векторы перпендикулярны, необходимо использовать условие перпендикулярности двух векторов (это условие было рассмотрено в задании 2) мы сможем найти из условия: , для этого найдем проекции векторов и на оси координат, заданных координатами точек начала и конца вектора. В этом случае проекции вектора на оси координат равны разности координат точек, задающих конец и начало вектора

Итак: векторы и перпендикулярны при и при

Задание 5: Даны точки:

Найти:

1. ;

2. ;

3. ;

4. орт вектора ;

5. ;

6. ;

7. 

Решение:

1. Из определения скалярного произведения следует, что проекцию вектора на вектор можно вычислить по формуле: , где скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: где и длина вектора: итак, в нашем случае, формула принимает вид: для нахождения необходимо найти проекции векторов на оси координат, заданных координатами точек начала и конца векторов, скалярное произведение и длину соответствующего вектора:

на основании формулы, выше написанной, получим:

.

2. Для нахождения длины вектора воспользуемся формулой:, для этого найдем проекции векторов на оси координат (смотри пункт 1), так же найдем сумму векторов по правилу сложения векторов, заданных проекциями на оси координат:

;

Итак:

3. Угол между векторами можно найти из определения скалярного произведения: в нашем случае формула принимает вид: находим проекции векторов на оси координат (смотри пункты 1 и 2), вычисляем скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями на оси координат, вычисляем длины векторов:

Итак

4. Направление вектора определяется углами , образованными им с осями координат Косинусы этих углов (направляющие косинусы вектора) определяются по формулам: Направляющие косинусы вектора связаны соотношением мы имеем вектор единичной длины, такой вектор называется ортом для нахождения орта вектора необходимо каждую проекцию вектора на оси координат разделить на его длину орт вектора .

Итак: орт вектора

5. Скалярное произведение векторов вычисляем по формуле:

(см. пункты 1 и 2), вычислим проекции векторов на оси координат и скалярное произведение векторов :

Итак:

6. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле:

, где

Находим проекции векторов на оси координат:

Найдем , , .

Итак:

7. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле:

, где Итак:

Задание 6: Даны координаты вершин пирамиды:

Вычислить:

1. объем пирамиды;

2. длину ребра ;

3. площадь грани ;

Решение:

1. Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, а объем параллелепипеда вычисляется на основании геометрического смысла смешанного произведения объем

параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах равен:

Найдем проекции соответствующих векторов на оси координат:

Тогда объем пирамиды равен:

Вычислим объем по указанной формуле:

;

2. Длина ребра

; (смотри пункт 5,3)

3. Площадь грани вычисляется по формуле:

так как грань треугольник, а площадь треугольника можно вычислить как половину площади параллелограмма, а площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых построен параллелограмм на основании свойств векторного произведения найдем проекции векторов на оси координат:

;

Образцы билетов к коллоквиуму

1

1. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Приведите пример.

2. Выведите уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

3. При каком значении векторы и будут коллинеарны?

4. Найти проекцию вектора на вектор , если

А(-2,5,7), В(-5,0,4), С(1,4,7).

2

1.Дайте определение векторного произведения двух векторов.

2. Выведите каноническое уравнение прямой на плоскости.

3. При каком значении векторы и будут ортогональны?

4. Найдите площадь треугольника АВС, используя векторное произведение векторов, если А(-2,5,7),

В(-5,0,4), С(1,4,7).

3

1. Вектор. Основные понятия. Линейные операции над векторами в геометрической форме.

2. Выведите уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору..

3. При каком значении векторы и будут коллинеарны?

4. Решите уравнение .

4