Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые два члена с номерамиnиn+ 1 (nN) имеют противоположные знаки, т. е. ряд вида
,
(9)
где
(т. е. ряд, положительные и отрицательные
числа которого следуют друг за другом
поочередно).
Знакопеременный ряд – это такой числовой ряд, часть членов которого является положительными числами, а часть – отрицательными.Знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда.
Пример 11.Примером знакочередующегося ряда служит ряд
1–
Видим, что все нечетные члены ряда положительны, а четные – отрицательны.
Признак Лейбница.
Если члены знакочередующегося
ряда
монотонно убывают по абсолютной величине
и общий член ряда стремится к нулю приn,
то ряд (9) сходится.
Пример 12. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда
Решение
Ряд знакочередующийся.
Его члены монотонно убывают по абсолютной
величине
,
Условия признака выполнены. Ряд сходится.
Тест 11. Указать, каких условий достаточно для сходимости знакочередующегося ряда:
1)
<и2
< … < иn
… ;
2)
>и2
> … > иn
… ;
3)
>и2
> … > иn
… ;
4)
>и2
> … > иn
… ;
5)
<и2< … <иn
… ;
Ответы на тестовые задания
|
Номер теста |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
Правильный ответ |
3 |
2 |
3 |
4 |
3 |
1 |
5 |
4 |
2 |
1 |
3 |
Степенные ряды
Основные понятия
Функциональным рядом называют выражение вида
,
(10)
где u1(x); u2(x); (члены ряда) – функции одного и того же аргумента x, определенные в некоторой области X, un(x) – общий член ряда.
При различных значениях x X из ряда (10) будут получаться различные числовые ряды, которые могут как сходиться, так и расходиться.
Множество значений x X, при которых ряд (10) сходится, называется областью сходимости ряда.
Сумма ряда (10) есть функция от х, ее обозначают S(x).
Пример 13. Найти формулу общего члена функционального ряда
cos x + 2cos 2x + 3cos 3x + .
Решение
Общий член ряда
будет равен
Действительно,
при n
= 1 получим первый член ряда:
приn
= 2 – второй член ряда:
приn
= 3 – третий член ряда:
и т. д.
Пример 14. Общий
член функционального ряда равен
Найти третий член ряда.
Решение
Если n = 3,
то
таким образом
Тест 12. Формула
общего члена функционального ряда имеет
вид
.
Тогда четвертый член ряда равен:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 13.
Функциональный ряд, заданный формулой
общего члена
имеет вид:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Тест 14. Указать, какой из приведенных рядов является функциональным:
1)
2)
3)
4)
5)
Понятие степенного ряда
Важнейшие для практики функциональные ряды – это степенные ряды.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
,
(11)
где числа а0, а1, а2, – коэффициенты ряда;
–общий член степенного
ряда (an
0).
Данный ряд называется степенным потому, что членами ряда служат степенные функции, показателями степеней которых являются целые неотрицательные числа.
Степенной ряд всегда сходится при х = 0.
Теорема Абеля.
Если ряд (11) сходится при х
= х0
(х0
0), то он сходится абсолютно при любых
значениях, для которых выполняется
неравенство
Если ряд (11)
расходится при
то он расходится при любых значенияхх,
для которых выполняется неравенство
Областью сходимости степенного ряда называется совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится.
Число R
– такое, что
при
ряд сходится, а при
– расходится, называетсярадиусом
сходимости степенного ряда.
Интервал (–R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда. При x = –R, x = R ряд может как сходится, так и расходится.
Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формуле
(12)
Пример 15. Найти
радиус, интервал, область сходимости
степенного ряда
.
Решение
1. n-й
член данного степенного ряда равен
n
+ 1-й член данного степенного ряда равен
Коэффициенты при
n-м
и n+1-м
членах ряда соответственно равны
По формуле (12) находим радиус сходимости
Таким образом, радиус сходимости: R = 1.
2. Интервал сходимости будет иметь вид (–1; 1).
3. Найдем область сходимости, для этого исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости: при x = –1 и x = 1.
При x
= –1 получим числовой ряд с общим членом
Это знакочередующийся ряд. Для его
сходимости применим признакЛейбница:
если n
= 1, то
еслиn
= 2, то
еслиn
= 3, то
Члены данного числового ряда убывают по абсолютной величине
,
следовательно, первое условие признака Лейбница выполняется.
Проверим выполнение второго условия признака Лейбница
Общий член с возрастанием номера n стремится к нулю, следовательно, второе условие признака Лейбница выполняется.
Таким образом, согласно признаку Лейбница ряд сходится и значение x = –1 надо включить в интервал сходимости.
При x
= 1 получим числовой ряд с общим членом
Это гармонический ряд, который расходится.
Следовательно, значениеx
= 1 не включаем в интервал сходимости.
Таким образом, область сходимости данного степенного ряда имеет вид [–1; 1).
Тест 15. Степенной
ряд задан формулой общего члена
Коэффициент приn-м
члене равен:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 16.
При x
= 0 степенной ряд
an
0:
1) сходится;
2) расходится;
3) вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Тест 17.
Если ряд
сходится при
(
),
то он сходится абсолютно при любых
значенияхx,
для которых выполняется неравенство:
1)
2)
3)
4)
Тест 18.
Если ряд
расходится при
то он расходится
при любых значениях x,
для которых выполняется неравенство:
1)
2)
3)
4)
Тест 19.
Радиус
сходимости степенного ряда
an
0, вычисляется по формуле:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 20.
Степенной
ряд задан формулой общего члена
Радиус сходимости данного ряда равен:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 21. Радиус сходимости некоторого степенного ряда равен R = 5, тогда интервал сходимости имеет вид:
1) (–5; 5);
2) (–5; 0);
3) (5; 0);
4) (–5; 0) (0; 5);
5) (–; 0) (5; ).
Тест 22. Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при x = –5 соответствующий числовой ряд сходится, а при x = 5 – расходится. Тогда область сходимости имеет вид:
1) (–5; 5);
2) [–5; 5);
3) [–5; 5];
4) (–5; 5];
5) (–; –5).
Тест 23. Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при х = –5 соответствующий числовой ряд расходится, а при х = 5 – сходится. Тогда область сходимости имеет вид:
1) (–5; 5);
2) [–5; 5);
3) [–5; 5];
4) (–5; 5];
5) (–; –5).
Тест 24. Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при х = –5 и х = 5 соответствующие числовые ряды сходятся. Тогда область сходимости имеет вид:
1) (–5; 5);
2) [–5; 5);
3) [–5; 5];
4) (–5; 5];
5) (–; –5).
Тест 25. Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при х = –5 и х = 5 соответствующие числовые ряды расходятся. Тогда область сходимости имеет вид:
1) (–5; 5);
2) [–5; 5);
3) [–5; 5];
4) (–5; 5];
5) (–; –5).
Пример 16. Найти область сходимости степенного ряда
.
Решение
Общий член данного
ряда равен
Коэффициенты приn-м
и n
+1-м
членах ряда соответственно равны
По формуле (12) находим радиус
Таким образом, радиус сходимости: R = .
Интервал сходимости: (–; ).
Следовательно, ряд сходится на всей числовой оси.
Пример 17. Найти область сходимости степенного ряда
.
Решение
Общий
член данного ряда равен
Коэффициенты при n-м
и n
+1-м
членах ряда соответственно равны an
= n!;
an
= (n
+ 1)!. По формуле (12) находим радиус
Таким образом, радиус сходимости: R = 0.
Следовательно, ряд сходится только в одной точке x = 0.
Тест 26.
Радиус
сходимости степенного ряда
равенR
= 0. Тогда ряд сходится:
1) при х (–; +);
2) при х = 1;
3) при х (0; +);
4) только при х = 0;
5) при х (–; 0).
Тест 27. Радиус сходимости некоторого степенного ряда равен R = . Тогда ряд сходится:
1) при х Î (–¥; +¥);
2) при x = 1;
3) при х (0; +);
4) при x = 0;
5) при х (–; 0).