Ответы на тестовые задания

Номер теста	31	32	33	34	35
Правильный ответ	5	2	5	1	5

2.12. Ряды Числовые ряды

Основные понятия

Пусть дана числовая последовательность .

Выражение вида

(1)

называется числовым рядом, или просто рядом.

Числа называютсячленами ряда, член a_n с произвольным номером – общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда …,… называютсячастичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

(2)

Пример 1. Пусть дана числовая последовательность

. (3)

Тогда последовательность будет иметь вид

…,

Последовательности (3) соответствует ряд

(4)

Пример 2. Рассмотрим ряд

(5)

Найдем его частичную сумму S_n. Имеем

Его частичную сумму можно упростить, если заметить, что

Получим

Тест 1. Определить второй член ряда

1)

2)

3)

4)

5)

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое называется суммой ряда (1). Символически

Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Тест 2. Определить частичную сумму S₃ ряда 1 ++++… :

1)

2)

3)

4)

5) 3.

Простейшими примерами числовых рядов, вопрос о сходимости которых решен, являются следующие ряды:

1. –геометрический ряд, который при < 1 сходится, при ≥ 1 расходится.

2. –обобщенный гармоничный ряд, который при α > 1 сходится, при α ≤ 1 расходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда +++…++… .

Решение

Это геометрический ряд, так как q =< 1, то ряд является сходящимся.

Тест 3.Указать, при каких значенияхобобщенный гармонический ряд является сходящимся:

1) при любых ;

2) при 0 <  < 1;

3) при > 1;

4) при  ≤ 1;

5) при < 1.

Тест 4.Для геометрического ряда 1++++… определить знаменательq:

1)

2)

3)

4)

5)

Факты сходимости и расходимости ряда устанавливаются с помощью признаков сходимости рядов, к рассмотрению которых и переходим.

Необходимый признак сходимости ряда

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е.

Следствие(достаточное условие расходимости ряда). Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример 4.В качестве примера можно привести гармонический ряд, т. е. ряд

,

в котором

Но известно, что гармонический ряд расходится. Равенство нулю общего члена ряда является лишь необходимым, но недостаточным условием сходимости.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

.

Решение

Найдем предел общего члена ряда приn

Значит, данный ряд расходится.

Тест 5.Рядрасходится, так как:

1) является гармоническим;

2)

3)

4)

5) не существует.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами

(6)

. (7)

Если для всех nвыполняется неравенството из сходимости ряда (7) следует сходимость ряда (6), а из расходимости ряда (6)следует расходимость ряда (7).

Замечание. При применении признака сравнения обычно в качестве эталонных рядов рассматриваются следующие ряды:

а) гармоничный ряд;

б) обобщенный гармонический ряд;

в) геометрический ряд.

Пример 6. Выяснить, сходится ли ряд

Решение

Так как , т. е.-й член ряда не стремится к нулю прито ряд расходится.

Тест 6.Для исследования вопроса сходимости рядасравниваем его сДелаем вывод:

1) ряд расходится, так как >

2) ряд сходится, так как < 

3) ряд сходится, так как>

4) ряд расходится, так как>

5) ряд расходится, так как >

Предельный признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда

,

с неотрицательными членами,причем для всехn,начиная с некоторого.

Тогда,если ряд сходится,сходится и ряд если же рядрасходится,то расходится и ряд

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Решение

Члены ряда меньше соответствующих членов ряда, который, являясь рядом бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сходится. Следовательно, сходится и данный ряд.

Тест 7.Чтобы исследовать рядс помощью предельного признака сравнения, используем рядНаходим:

1)

2)

3)

4) –

5)

Признак Даламбера. Если существует предел то рядсходится прии расходится при

Замечание:

1. Если l= 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида n! илиaⁿ.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

.

Решение

Воспользуемся признаком Даламбера. Общий член ряда ПоэтомуиРяд расходится. Заметим, что мы доказали также соотношение(общий член сходящегося ряда стремится к нулю).

Тест 8.С помощью признака Даламбера определяем сходимость рядаТогдаравен:

1)

2)

3)

4)

5)

Признак Коши. Если существует предел

(8)

то ряд сходится прии расходится при

Замечание. Как и для признака Даламбера, в случае, когда l = 1, вопрос о сходимости ряда становится открытым.

Пример 9. Исследовать, сходится ли ряд

Решение

Ряд сходится.

Тест 9. Чтобы исследовать ряд применяя признак Коши, необходимо найти:

1)

2)

3)

4)

5)

Пример 10. Исследовать сходимость ряда

Решение

Применим интегральный признак Коши. По виду общего члена найдем функцию f(x)=

Вычислим несобственный интеграл

=

=

Интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится.

Тест 10. Исследуем сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши. Найдем:

1)

2)

3)

4)

5)