Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
Рядом Тейлора, расположенным по степеням (x – x0), для функции f(x) называется степенной ряд
(13)
где
…,
… – производные функцииf(x)
в точке
При x = 0 ряд Тейлора, расположенный по степеням х, имеет вид
.
(14)
Формула (14) представляет частный случай формулы Тейлора (13). Формула (14) называется формулой Маклорена.
Пример 18.
Для функции
f(x)
составить ряд Тейлора, расположенный
по степеням (x
– 2).
Решение
Найдем значения
функции f(x)
и ее последовательных производных
…,
приx0
= 2:
1) значение функции
f(x0)
при x0
= 2: f(x0)
= f(2)
2) производную
первого порядка:
ее значение приx0
= 2:
3)
производную второго порядка:
ее значение приx0
= 2:
4) производную
третьего порядка:
ее значение
при x0
= 2:
Тогда производная
п-го
порядка будет равна:
а ее значение приx0
= 2:
Подставив x0
= 2, а также найденные значения функции
f(x)
и производных f
(x0),
…,f (n)(x0)
при x0
= 2 в формулу (13), получим
Пример 19.
Для функции
f(x)
составить ряд Тейлора, расположенный
по степенямх
(т. е. составить ряд Маклорена).
Решение
Найдем значения
функции f(x)
и ее последовательных производных
…,
приx0
= 0:
1) значение функции
приx0
= 0:
2) производную
первого порядка:
ее значение приx0
= 0:
3)
производную
второго порядка:
ее значение приx0
= 0:
4)
производную третьего порядка:
,
ее значение приx0
= 0:
Тогда производная
п-го
порядка будет равна:
а ее значение приx0
= 0:
Подставив найденные
значения функции f(x)
и производных
…,
приx0
= 0 в формулу (14), получим
.
Пример 20.
Для функции
f(x)
составить ряд Тейлора, расположенный
по степеням (x
– 5).
Решение
У функции f(x)
нет ряда Тейлора, расположенного по
степеням
(x
– 5), так как функция f(x)
в точкеx
= 5 не определена.
Тест 28.
Для функции f(x)
ряд Тейлора, расположенный по степеням
(x
– 5), имеет вид:
1)
;
2) у данной функции нет ряда, расположенного по степеням (x – 5);
3)
;
4)
.
Тест 29. Ряд Маклорена получается из ряда Тейлора:
1) при x = 1;
2) при x = –1;
3) при x = 0;
4) при x = 5;
5) при x = 2.
Ответы на тестовые задания
|
Номер теста |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
Правильный ответ |
5 |
4 |
2 |
4 |
1 |
4 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
Номер теста |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
|
Правильный ответ |
2 |
4 |
3 |
1 |
4 |
1 |
2 |
3 |
Список рекомендуемой литературы
Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики : учеб. пособие / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. – М. : Наука, 1989. – 656 с.
Марков, Л. Н. Высшая математика. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии : учеб. пособие для вузов / Л. Н. Марков, Г. П. Размыслович. – Минск : Амалфея, 1999. – 208 с.
Минюк, С. А. Высшая математика : учеб. пособие для вузов / С. А. Минюк, Е. А. Ровба. – Гродно : ГрГУ, 2000. – 394 с.
Шипачев, В. С. Высшая математика : учеб. / В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова. – М. : Высш. шк., 1990. – 479 с.
Яблонский, А. И. Высшая математика. Общий курс : учеб. / А. И. Яблонский [и др.] ; под общ. ред. С. А. Самаля. – 2-е изд., перераб. – Минск : Выш. шк., 2000. – 351 с.