МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ РФ

МТУСИ кафедра ПДСиТ

Н.Ф. Генкина

РАСЧЕТ УСТРОЙСТВА ЗАЩИТЫ ОТ ОШИБОК

Учебное пособие

по курсовому проектированию

для вечернего факультета

(специальность 200900)

Москва

I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ УЗО

Устройство защиты от ошибок на основе системы с обратной связью (ОС) характеризуется многими параметрами. Задача его проектирования всегда является оптимизационной задачей, т.е. при заданных ограничениях на ряд параметров требуется найти наилучший вариант по какому-то критерию. В качестве критерия оптимизации выбирается одна из характеристик УЗО: верность, скорость, задерж­ка передачи или сложность устройства.

В настоящем курсовом проекте рассматривается вариант оптимизации УЗО, по критерию сложности. При этом принимается во внимание сложность алгоритма работы системы с ОС, алгоритма кодирования и декодирования и объем накопителей на передаче и приеме, т.е. при курсовом проектировании ставятся и решаются локальные задачи расчета УЗО, однако позволяющие отобразить ряд важных, ключевых особенностей реальных проектов и теоретических положений курса.

Задание на курсовое проектирование может быть сформулировано в следующем виде.

Пример I. Задание на разработку УЗО.

Требуется построить УЗО на основе системы с РОС, обеспечивающее передачу информации в системе передачи дискретных сообщений (СПДС) по заданному дискретному каналу (ДК) с заданным качеством при минимальной сложности устройства. Качество определяется:

скоростью передачи;

вероятностью ошибки при получении сообщения источника не более P_ош.доп;

вероятностью выпадения сообщения не более Р_{вып.доп};

вероятностью вставки сообщения не более Р_{вст.доп};

вероятностью стирания сообщения не более Р_ст.доп ;

задержкой сообщения не более _з.доп .

Исходные данные для проектирования

Характеристики УЗО:

на вход УЗО поступают сообщения в виде двоичных последовательностей длины l = 28 разрядов со скоростью M = 37 сообщений в секунду;

допустимая вероятность ошибки в сообщении Р_ош.доп = 10^-4 ;

допустимая вероятность выпадения сообщения Р_{вып.доп} = 1,5 ^. 10^-6;

допустимая вероятность вставки сообщения Р_{вст.доп} = 1,5 ^. 10^-6;

допустимая вероятность стирания Р_ст.доп = 10^-7 ;

допустимое время задержки сообщения _з.доп = I с;

Оценка сложности проектируемого УЗО производится по сложности технической реализации кодера и декодера, алгоритма обработки сигналов ОС и объема накопителей на передаче и приеме.

Характеристики прямого ДК:

максимальная скорость работы по каналу В = 1200 Бод;

модель ошибок в ДК задается распределением вероятности P_n (  I) возникновения хотя бы одной ошибки на длине n последовательности двоичных символов в зависимости от n и распределением вероятности P_n (  t ) возникновения ошибок кратности t и более на длине n последовательности символов в зависимости от t :

P_n( 1) = n^1-P_e ;

P_n( t) = n^1- P_e,П[((i-1) / n)^1-- ((i-1) /n)] / [(i/n)^1-- ((i-1) /n)], где

П – произведение значений функции при i, изменяющимся от 2 до t.

Ре - вероятность ошибки в двоичном символе, Ре = 0,8 ^. 10^-3,

- коэффициент группирования ошибок,  = 0,5;

t_р - время распространения, t_р = 10 мс.

Характеристики обратного канала:

скорость передачи В₁ = 200 Бод;

модель ошибок в канале ОС такая же, как в прямом;

время распространения t_р^ = 10 мс.

2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ С РОС

Структурная схема и принцип работы системы с РОС приведены в [1, с. 332-336].

Рис. I. Временная диаграмма работы системы с РОС без нумерации сообщений

Временная диаграмма работы системы с РОС приведена на рис. I, где символом  обозначены принятые комбинации v^’ , содержащие ошибки, которые обнаруживаются помехоустойчивым кодом, используемым в системе. Сигналы  обратной связи обозначены: 0 - подтверждение, I - запрос. Как видно из диаграммы, в зависимости от прохождения сигнала ОС, сообщение может быть выдано получателю больше одного раза (на диаграмме сообщение 2) или не выдано получателю ни разу (на диаграмме сообщение 5). В первом случае происходит вставка сообщения, во втором - его выпадение. Выпадение или вставка хотя бы одного сообщения может привести к неправильному использованию получателем всех последующих сообщений. Поэтому при оценке качества работы системы с РОС эти явления следует учитывать.

Характеристики системы, определяющие качество работы системы с точки зрения получателя, часто называют внешними. Внешние характеристики системы с РОС - это вероятности тех или иных реализаций процесса передачи сообщений или численные характеристики распределений этих вероятностей. Обычно они характеризуют верность, скорость и своевременность передачи сообщений.

Характеристиками верности передачи служат вероятности тех или иных соотношений между передаваемыми источником и выданными получателю сообщениями.

Рассматривая изолированно от всей последовательности сообщений возможные исходы передачи каждого сообщения, для характеристики верности можно использовать следующие параметры:

вероятность выдачи сообщения получателю без ошибок и только один раз Р_пр (под сообщением здесь и в дальнейшем понимается блок элементов информационной последовательности, который при передаче кодируется как одна кодовая комбинация используемого в системе помехоустойчивого кода);

вероятность выдачи сообщения получателю с необнаруженными ошибками и только один раз Р_ош ;

вероятность выпадения сообщения (невыдачи сообщения получателю) Р_вып ;

вероятность вставки сообщений (выдачи сообщения получателю более, чем один раз) Р_вст;

вероятность стирания сообщения, когда ошибка обнаруживается, но не может быть исправлена из-за ограниченного числа допустимых в системе переспросов Р_ст. Получатель уведомляется об этом специальным сигналом "стирание".

Для характеристики скорости обычно используется средняя абсолютная скорость передачи R_аб и средняя относительная скорость передачи R .

Средняя абсолютная скорость передачи R_аб измеряется средним числом поступающих на вход системы от источника (или выданных с выхода системы получателю) двоичных символов в единицу времени (бит/с). Средняя относительная скорость передачи (или просто скорость передачи) есть отношение средней абсолютной скорости передачи R_аб к скорости передачи в дискретном канале В (скорости модуляции): R = R_аб / B

Скорость передачи характеризует эффективность использования системой ДК прямого направления.

Характеристикой своевременности передачи служит средняя задержка сообщения в системе или вероятность того, что эта задержка не превысит некоторого значения.

3. ГРАНИЧНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАСЧЕТА ВНЕШНИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ С РОС

Система с РОС может быть представлена конечным автоматом [4; 6], работа которого может быть задана ориентированным графом.

При построении графа необходимо выделить те состояния, вероятность попадания системы в которые нас интересует, учесть все возможные пути попадания в эти состояния и, сложив вероятности по всем возможным путям, найти вероятность интересующего нас события. Методика такого расчета подробно изложена в [4. Вероятности попадания системы в интересующее нас состояние по различным путям могут сильно отличаться по величине (на несколько порядков). Тогда для оценки вероятности интересующего события достаточно определить главный путь (или пути), где вероятность наибольшая, и отбросить пути с достаточно малыми вероятностями.

Такой подход дает возможность значительно упростить расчет внешних характеристик УЗО при удовлетворительной для инженерных расчетов точности (до десятых и даже сотых долей порядка).

Рассмотрим наиболее простой алгоритм работы системы с РОС - систему одностороннего действия с ожиданием сигнала решения (РОСож) [I, с. 332-335] . Приёмник в такой системе в случае приема очередного сообщения без ошибок или с не обнаруживаемыми (n, k)*-кодом ошибками выдает сообщение получателю, а по каналу ОС передает сигнал "подтверждение" (  = 0).

* Напомним, что означают параметры кода n и k.

n – это длина одной кодовой комбинации двоичных символов на выходе УЗО. Каждая кодовая комбинация состоит из информационной части (k) и проверочной части (r). Число информационных символов (k) равно длине одного сообщения (l) или нескольких (li) сообщений источника.

В случае обнаружения ошибки сообщение получателю не выдается и стирается из накопителя приемника, а по каналу ОС передается сигнал "запрос" ( = 1). Передатчик при получении сигнала "подтверждение" передает следующее сообщение, при получении сигнала "запрос" повторяет ранее переданное. Предположим, что в системе допускается только одно повторение кроме первой передачи, после чего происходит отказ в передаче данного сообщения, о чем получатель уведомляется специальным сигналом "стирание, а система переходит к передаче следующего сообщения. В такой системе выдача данного сообщения получателю с необнаруженной ошибкой и только один раз может произойти в результате следующих событий (по следующим путям):

1. сообщение при первой передаче принято с необнаруженной ошибкой, сигнал "подтверждение" принят правильно, передатчик переходит к передаче следующего сообщения;

2. в сообщении при первой его передаче обнаружена ошибка, правильно принят сигнал "запрос", при повторной передаче сообщение принято с необнаруженной ошибкой;

3. сообщение при первой передаче принято с необнаруженной ошибкой, сигнал "подтверждение" принят как сигнал "запрос", при повторной передаче в сообщении обнаружена ошибка.

Вероятность Р_ош будет равна сумме вероятностей по каждому из этих путей.

Введем обозначения:

 - вероятность обнаружения ошибки кодом, принятым в системе;

Р - вероятность не обнаружения ошибки;

Q - вероятность правильного приема;

Р₀, Р₁ - вероятности ошибки при передаче сигналов "подтверждение" и "запрос" соответственно;

q₀, q₁ - вероятности правильного приёма сигналов "подтверждение" и "запрос" соответственно.

( q₀ =1- P₀, q₁=1-P₁ ).

В соответствии с введенными обозначениями можем записать:

Р_ош = Рq₀ +q₁Рq₀ +Pp₀. (2)

Из анализа слагаемых видно, что путь I является главным, ибо для реальных систем и каналов связи вероятность обнаружения ошибки  и вероятности искажений сигналов ОС p₀ и p₁ есть величины много меньше единицы. Второе и третье слагаемые являются величинами второго и более порядка малости, а потому можно принять

Р_ош  Рq₀ (3)

Аналогично рассуждая, найдем, что вероятности правильного приема P_пр, выпадения Р_вып и вставки Р_вст по главным путям равны[5]:

Р_пр Qq₀ (4)

P_вып p₁ (5)

P_вст  Q²p₀ (6)

Мы рассмотрели систему, допускающую только две передачи одного и того же сообщения. С увеличением допустимого числа повторений сообщения увеличивается число путей, приводящих к интересующему событию, однако увеличивается и порядок малости вероятностей событий по этим путям. В пределе для системы с неограниченным числом переспросов имеем [1, 5]:

P_ош = Р q₀ / (1- q₁) (7)

P_пр = Q q₀ / (1- q₁) (8)

Pвып =  p1 / (1- q1) (9)

P_вст = Q² p₀ / (1- q₁) (10)

Выражения (3) - (6) являются нижними граничными оценками, а выражения (7) - (10) - верхними граничными оценками соответствующих вероятностей.

Для разумно спроектированных УЗО вероятность обнаруживаемой ошибки должна быть   10^-1 даже для плохих каналов. Поэтому знаменатели выражений (7) - (10) близки к единице. Следовательно, близки друг к другу нижняя и верхняя граница соответствующих вероятностей. Для оценки внешних характеристик системы с РОС в инженерных расчетах можно пользоваться нижними граничными оценками соответствующих вероятностей, определяемых по главному пути.

Оценка вероятности стирания Р_ст по главному пути в системе с РОС с ограниченным числом передач определяется допустимым числом j передач каждого сообщения:

P_ст = ( q₁) ^j (11)

В системе с неограниченным числом передач P_ст = 0.

4. РАСЧЕТ СИСТЕМЫ С РОС

Как видно из выражений (3) - (6), для расчета внешних характеристик системы с РОС необходимо знать вероятности P,  ,Q, p₀, p₁. Назовем их внутренними характеристиками. Эти вероятности определяются характеристиками дискретного канала (ДК), корректирующими свойствами кода и алгоритмом обработки сигналов в передатчиках и приемниках прямого и обратного каналов. Статистические характеристики потока ошибок в ДК (модель ДК) должны быть заданы.

4.1. Выбор корректирующего кода

Как видно из соотношения (6), вероятность выдачи сообщения получателю с ошибкой Р_ош определяется в основном вероятностью не обнаружения ошибки Р кодом, принятым в системе.

Корректирующие свойства кода зависят от его длины n и избыточности W_k . С увеличением длины кода необходимая избыточность для достижения тех же корректирующих свойств уменьшается [1] . Напомним, для блочного (n, k )-кода избыточность

W_k= (n-k) /n (12)

где k - число информационных разрядов.

Величина R_k =1-W_k называется скоростью кода.

Код, который может быть применен в проектируемой системе, должен обеспечивать вероятность не обнаруживаемой ошибки Р меньше допустимой, при этом избыточность его не должна быть больше допустимой избыточности. Допустимая избыточность может быть определена из соотношения скорости выдачи информации источником В_ист и допустимой скорости работы в ДК В :

W_доп = (B-B_ист) / B (13)

Скорость выдачи информации источником

B_ист = l M, бит/с (14)

где M - число выдаваемых источником сообщений в секунду;

l - длина сообщения.

Теперь необходимо найти минимальную длину кода, который бы при избыточности W_k < W_доп обеспечивал вероятность не обнаруживаемой ошибки Р не больше допустимой Р_ош.доп. Если блочный ( n, k)-код имеет кодовое расстояние d , то все ошибки кратности

t = d – 1

и меньше гарантированно обнаруживаются таким кодом. Вероятность не обнаруживаемой кодом ошибки Р может быть рассчитана из соотношения:

P =P_n( d) / 2^n-k (15)

где P_n( d) - вероятность ошибки кратности t  d на длине последовательности n.

Пока не выбран код, неизвестно его кодовое расстояние d . Но для каналов с памятью вероятность ошибки на длине последовательности n с увеличением кратности ошибки t уменьшается незначительно, оставаясь в пределах одного порядка [2, с.65-71. Поэтому, вероятность не обнаруживаемой ( n, k )-кодом ошибки р может быть рассчитана по приближенному соотношению:

P = p_n( 1) / 2^n-k, (16)

где p_n( 1) - вероятность появления одной ошибки (кратности 1) и более на длине последовательности n. разрядов.

Эта вероятность определяется моделью ошибок в ДК. Так как должно быть Р  Р_ош.доп , примем для граничной оценки:

Р_n( 1) / 2^n-k =P_ош.доп (17)

Из этого выражения может быть найдена зависимость избыточности W_необх , необходимой для обеспечения в заданном ДК вероятности не обнаруживаемой кодом ошибки Р не больше допустимой. Взяв двоичный логарифм от обеих частей (17) и проведя простейшие преобразования, получим:

W_необх =( n-k )/ n =( log₂ P_n(1) - log₂P_ош.доп.) / n (18)

Задаваясь рядом значений. n строим зависимость W_необх = f(n). Значение n_min , при котором W_необх = W_доп соответствует минимальной длине кода, обеспечивающего в заданном ДК вероятность не обнаруживаемой ошибки Р не больше допустимой (Р Р_ош.доп ) . Найдя n_min. необходимо выбрать конкретный код с длиной n  n_min. Избыточность кода должна лежать в пределах:

W_необх  W_k  W_доп (19)

Код должен обеспечивать достаточно простую процедуру кодирования и декодирования в режиме обнаружения ошибок.

Примером такого кода является линейный циклический код [1, с. 296-318] ; [3]. Возможные варианты циклических (n, k)-кодов табулированы. Таблица циклических кодов приведена, например, в [2; 3] . По таблице находится код, удовлетворяющий условию (19) с n n_min. Желательно, чтобы длина k информационной последовательности выбранного кода была кратна длине l сообщения источника, т.е. чтобы кодировалось одним кодовым словом целое число сообщений источника. Для этого подходящий циклический (n, k )-код может быть укорочен [2. с. 310] на i разрядов. Корректирующие свойства полученного ( n-i ,k- i)-кода не хуже, чем у исходного (п, к)-кода, однако избыточность несколько больше. Избыточность выбранного кода проверяется по условию (19). Для выбранного кода по таблице находят образующий полином g(x) и кодовое расстояние d. Порождающие полиномы циклических кодов из таблицы, приведенной в [2] , находят по формулам:

g₁(x) = f₁(x) и g_j(x) = g_j-1(x) f_j(x) ,

где f_j(x) - неприводимые сомножители бинома xⁿ 1.

В таблице все многочлены f_j(x) указаны в восьмеричном представлении. Для нахождения f_j(x) необходимо каждое число записать тремя знаками двоичного кода.

Например, число 45 обозначает многочлен пятой степени, в двоичной записи этому числу эквивалентно число 100101 и соответствующий многочлен равен x⁵+x²+1 .

В соответствии с известным d уточняется вероятность не обнаруживаемой ошибки Р по формуле (15).

Вероятность  обнаруживаемой ( n, k )-кодом ошибки равна разности между вероятностью P_n( 1) любой ошибки на длине последовательности в n символов и вероятностью не обнаруживаемой ошибки Р :

 = P_n ( 1) - P

Так как на практике P P_n( 1) , можно принять

 = P_n( 1) (20)

Вероятность правильного приема Q , очевидно, равна

Q = 1 -  - P = 1 -  (21)

Пример 2. Выбор корректирующего кода в системе с РОС.

Воспользуемся исходными данными для проектирования, приведенными в примере 1. Построим зависимость W_необх = f(n) согласно (18). Эта зависимость для исходных данных из примера I приведена на рис. 2. Там же показано значение W_{доп ,} вычисленное по формуле (13).

Р ис.2.Зависимость необходимой избыточности от длины кода

Как видно на рис. 2, n_min. =41. Так как п_min > l (по условию примера 1 l=28), кодировать отдельно каждое сообщение источника не представляется возможным. Объединим для кодирования по два сообщения ( k = 2l = 56). Из таблицы, приведенной в [2] , находим подходящий циклический код (63, 57). У этого кода n=63, а k=57. То есть n>n_min , но k на единицу больше требуемого значения. Так как желательно иметь код, длина информационной последовательности которого кратна длине сообщения источника l = 28, укоротим выбранный код на один разряд. Получим код (62, 56). Этот код обладает избыточностью W_k = 0,096, что удовлетворяет соотношению (19). Найдем порождающий полином выбранного кода g(х) и кодовое расстояние d . Из таблицы циклических кодов, приведенной в [2], имеем f_j(х)= 103. Запишем это число тремя знаками двоичного кода: 001000101. Соответствующий порождающий полином будет g(x) = x⁶+x²+1, d = 3. Уточним согласно (15) значение вероятности не обнаруживаемой кодом ошибки Р . Значение P_n( d) найдем по заданному распределению P_n( t) (пример 1):

P₆₂ ( 3) = 62^0.5 0,8 10^-3 П [(i-1 / 62)^0,5- ((i-1) / 62)] / [(i /62)^0,5- ((i-1) / 62)] = 3,6 10^-3

При i=(2, d=3)

P = P₆₂ ( 3) / 2⁶ = 0,56 10^-4  P _ош.доп = 10^-4

Р Р_ош.доп

Вероятность  обнаруживаемой ошибки согласно (20) равна

 = P_n( 1) = n^1-P_e = 62^0,50,810^-3 =6,310^-3

Вероятность правильного приема согласно (21) равна:

Q = 1- = 0,9937

4.2 Выбор сигналов решения

Вероятности выпадений и вставок зависят в первую очередь от вероятностей искажений сигналов ОС (см. (5) и (6)). В качестве сигналов ОС могут быть выбраны две двоичные последовательности длины m с максимально возможным кодовым расстоянием d = т .

В большинстве случаев к вероятности выпадений предъявляются более жесткие требования, чем к вероятности вставок. Поэтому при декодировании сигналов ОС любое искажение сигнала "подтверждение" воспринимается системой как "запрос". Тогда вероятность р₀ искажения сигнала "подтверждение" равна вероятности P_m ( 1) ошибки любой кратности на длине последовательности т разрядов, т.е.

p₀ = P_m(1) (22)

Вероятность p₁ искажения сигнала "запрос" равна вероятности P_m(m) появления в канале ОС вектора ошибок кратности т,

p₁ = P_m(m) (23)

В системах с двусторонним обменом информации передаваемые по каналам кодовые слова служат сигналами "подтверждение" приема сообщений другого направления I; 2 . Любое кодовое слово, используемое для передачи информации, дешифруется приемником системы одновременно как сигнал "подтверждение", а последовательность, выбранная для передачи сигнала "запрос", и любая последовательность, не принадлежащая множеству кодовых слов, - как сигнал "запрос". Тогда вероятность искажения сигнала "подтверждение" р₀ равна вероятности обнаруживаемой кодом ошибки, а вероятность искажения сигнала "запрос" p₁ равна вероятности не обнаруживаемой кодом ошибки:

p₀ =  ; p₁ = P

Чтобы уменьшить вероятность вставок, вводят нумерацию сообщений в прямом канале [I, с. 344. Рассмотрим алгоритм работы системы, когда для передачи номера сообщения используется один двоичный символ из числа k информационных символов каждого кодового слова.

Работа передающей станции задается условиями:

а) сообщения, поступающие от источника по запросу системы, кодируются двоичным линейным (n, к )-кодом. Кодовые слова нумеруются по модулю 2. Для нумерации используется один из информационных разрядов кодового слова. Кодовые слова записываются в накопитель передающей станции и передаются по прямому каналу;

б) при приеме сигнала "подтверждение" станция стирает предыдущее кодовое слово из накопителя, запрашивает от источника новое сообщение, кодирует его, записывает в накопитель и передает по прямому каналу с номером, отличным от номера предыдущего слова;

в) при приеме сигнала "запрос" передающая станция повторно передает ранее переданное кодовое слово с прежним номером.

Работа приемной станции задается условиями:

а) при обнаружении ошибки в принятой из прямого канала последовательности она стирается, а по обратному каналу передается сигнал "запрос";

б) если в принятой последовательности ошибки не были обнаружены, то по обратному каналу передается сигнал "подтверждение". При этом сообщение выдается получателю, если номер слова совпадает с ожидаемым (отличается от номера сообщения, ранее выданного получателю). Сообщение стирается, если его номер совладает с номером сообщения ранее выданного получателю.

Временная диаграмма работы системы с описанным алгоритмом приведена на рис. 3. Символом  обозначены принятые последовательности, в которых обнаружены ошибки, сигналы обратной связи обозначены: 0 - "подтверждение

1 - "запрос".

Рис. 3. Временная диаграмма работы системы с РОС с нумерацией сообщений

Как видно из диаграммы рис. 3, второе сообщение (2₁), повторяемое из-за ошибочно принятого сигнала "подтверждение", получателю не выдается, так как его номер совпадает с номером ранее выданного сообщения. Вставки не происходит. Однако из-за искажения сигнала "запрос" может произойти выпадение двух сообщений (на диаграмме сообщения 3₀ и 4₁). Сообщение 4 передается с номером 1, когда приемник ожидает поступления сообщения с номером 0 (предыдущее сообщение, выданное получателю, имело номер 1).

Обозначения переходных вероятностей выберем такими же, как в предыдущих разделах, и дополнительно обозначим:

р_N - условная вероятность ошибки в номере кодового слова при возникновении необнаруженной ошибки;

q_N - условная вероятность отсутствия ошибки в номере кодового слова при возникновении необнаруженной ошибки (p_N = 1- q_N).

Главный путь, приводящий к выпадению двух сообщений, состоит из следующих событий:

• сообщение принято с обнаруженной ошибкой;

• сигнал "запрос" принят как "подтверждение";

• следующее сообщение принято правильно и правильно принят сигнал "подтверждение".

Тогда:

Р_вып = 2 р₁Qq₀

Если Q и q₀ близки к единице, можно принять

P_вып  2 p₁ (24)

Главный путь, приводящий к вставке сообщения, состоит из следующих событий:

• сообщение принято правильно;

• сигнал "подтверждение" принят как "запрос";

• при повторной передаче сообщения произошла не обнаруживаемая (n, k)-кодом ошибка, причем номер сообщения искажен так, что соответствует ожидаемому (номеру следующего сообщения).

Тогда:

P_вст = Q p₀ P p_N p₀ P p_N (25)

Сравнивая выражение (24) с (5), а (25) с (6), видим, что в системе с нумерацией сообщений вероятность вставки заметно уменьшается, а вероятность выпадения остается того же порядка.

Варианты нумерации сообщений могут быть различными [I, 6; 7. В УЗО аппаратуры ТАП-2, например, принята нумерация сообщений по модулю 3. Для передачи номера используются два разряда. Таким образом, в начале каждого кодового слова находится номер этого слова в двоичной записи 00, 01, 10, далее нумерация циклически повторяется.

В зависимости от выбранного варианта нумерации изменяются вероятности вставок и выпадений.

Из вариантов, обеспечивающих заданные ограничения на P_вып и Р_вст , выбирают наименее сложный.

Из требований на вероятность стирания определяется допустимое число j передач одного и того же сообщения. Согласно (11)

P_ст = ( q₁) ^j  P_ст.доп,

Откуда j = ] lg P_ст.доп  lg( q₁) [ (26)

где ]-[ - ближайшее большее целое.

Пример 3. Расчет вероятностей выпадений, вставок и стираний.

Используем исходные данные из примера 1 и результаты, полученные в примере 2. Выберем для передачи сигналов решения последовательности длины m = 9 с кодовым расстоянием d = m. = 9 (например, сигнал "подтверждение" - все нули, сигнал "запрос" - все единицы). Тогда согласно (22) и (23) имеем:

p₀ = P_m( 1) =2,4  10^-3

p₁ = P_m (m) = 10^-4

Найдем вероятность вставок и выпадений

P_вст = Q² p₀ = 2,37 10^-3 ;

P_вып =  p₁ = 6,310^-7

Из полученных результатов видим, что P_встP_{вст.доп}, P_вып Р_{вып.доп.}

Для уменьшения вероятности вставок введем нумерацию сообщений в прямом канале по модулю два, прибавив один двоичный символ к информационной последовательности кодового слова. Так как в примере 2 мы остановились на укороченном циклическом коде (62,56), вернемся к исходному коду (63,57). Примем p_N = q_N = 0,5. Согласно (24) и (25) имеем:

Р_вып = 2 р₁ = 1.26 10^-6

P_вст = P p₀ p_N = 0,67 10^-7

Так как Р_вып Р_{вып.доп} и Р_вст Р_{вст.доп}, можно принять вариант системы с РОС с нумерацией сообщений по модулю 2 при сигналах решения длины т = 9. В качестве сигналов решения выбираются сигналы с максимально возможным кодовым расстоянием ( d = m), при декодировании любое искажение сигнала "подтверждение" воспринимается системой; как "запрос". Согласно (26) найдем максимально необходимое число j передач каждого сообщения:

j =  lgP_доп / lg q₁ = 2,56 = 3