2. Процесс моделирования.

В этом разделе работы будет рассматриваться сам процесс создания модели. От формулировки целей и задач моделирования конкретной системы и рассмотрения основных взаимосвязей между объектами модели до программной реализации модели.

Словесное описание системы. Допущения, необходимые для построения модели.

Изучаемая система - деятельность транспортной фирмы - представляет собой некоторую систему массового обслуживания, целью которой является обслуживание поступивших заявок и, следовательно, получение наибольшей прибыли от данной сферы деятельности. Действительно, всю описываемую систему можно представить как некий агрегат, объект, на входе которого образуется входной поток заявок на обслуживание, на выходе - выходной поток, которым характерен стахостический характер функционирования, то есть заявки поступают в систему случайно, согласно определенному закону распределения, зависящему от интенсивности пассажиропотока в определенные дни недели и время суток, а выходят тоже случайным образом. Причем этот стохастический процесс не является стационарным, так как зависит от времени, в которое наблюдается то или иное явление.

Следующей характеристикой реального объекта является его многоканальность. Из задания известно, что изучаемая транспортная фирма имеет 5 маршрутов со своим числом маршрутных такси, которые и являются каналами, следовательно у модели, имитирующей этот объект должна быть система из 5-ти многоканальных СМО. Также из задания можно сделать следующее допущение, необходимое для упрощения модели: так как маршрутов пять и планируется ввести еще два - в сумме семь, что меньше, чем количество конечных станций нашего метрополитена, то можно принять за факт следующее утверждение - маршруты берут начало от разных конечных станций метро и не оказывают влияние на величину пассажиропотока друг друга. Следовательно система представляет собой группу многоканальных СМО. Для упрощения модели примем, что в среднем интенсивность пассажиропотока (заявок-транзактов) для этих многоканальных СМО одинаковая и подчинена графику, представленному ниже.

Также для данной изучаемой системы характерна конечная очередь заявок, а также система обслуживания “первым пришел - первым обслужен”. Очередь заявок конечна, так как маршрутные такси не являются единственным видом транспорта, который обслуживает все заявки. Так по результатам некоторых статистических наблюдений за весь период существования частных транспортных фирм и их широкого распространения (с 1995 года) видно, что если длина очереди больше 20-30 человек, то пассажиры предпочитают пользоваться другими видами транспорта (городским или частным). Поэтому примем максимальную длину очереди за 30 человек и будем считать, что пассажиры, которые не встали в очередь из-за ее максимума не будут снова вставать в нее после ее уменьшения.

Для определения интенсивности пассажиропотока необходимо воспользоваться некоторыми статистическими наблюдениями. Таким образом, известно, что величина пассажиропотока достигает максимумов:

• в будни - в 19 ⁰⁰

• в выходные дни - в 17 ⁰⁰

а минимума - в 9 ⁰⁰ .

Графически величину пассажиропотока во времени можно представить следующим образом:

чел/мин

5

4

3

2

1

0 60 120 600 720 900 t(мин)

- интенсивность пассажиропотока в будни

- интенсивность пассажиропотока в выходные дни

В математических уравнениях это выглядит следующим образом:

ìf(t)=15-t/12 , при 0 < t £ 120 и d=0

f(t)=(t-120)/24+5 , при 9 < t £ 19 и d=0

íf(t)=(720-t)/9+30 , при 19 < t £ 22 и d=0 * Уравнения 1*

f(t)=t/30+5 , при 7 < t £ 17 и d=1

îf(t)=(600-t)/30+25 , при 17 < t £ 22 и d=1

где t- время суток (мин), d- день недели (0 -будни, 1-выходные)

Так как в исследуемом объекте имеется пять маршрутов-каналов обслуживания, а следовательно и у них интенсивности пассажиропотока в одинаковые моменты времени разное и, причем, они подвержены случайностям, то мы построили пока только общую схему - среднюю интенсивность пассажиропотока. Сделаем допущение о том, что пассажиропоток любого маршрута подчинен закону, определяемого линиями графика и может отклоняться от среднего значения не более чем на 0,5 чел/мин. Тогда система уравнений перепишется следующим образом:

f(t)=15-t/12 + j(t) , 7 < t £ 9 и d=0

f(t)= (t-120)/24+5+ j(t) , 9 < t £ 19 и d=0

f(t)=(720-t)/9+30 +j(t) , 19 < t £ 22 и d=0 *Уравнения 2*

f(t)= t/30+5 + j(t) , 7 < t £ 17 и d=1

f(t)=(600-t)/30+25+j(t) , 17 <t £ 22 и d=1

где j(t) - случайное число от -0,5 до 0,5

Сразу же необходимо рассмотреть и решить побочную задачу: определить оптимальное количество машин на линии. Для этого необходимо знать время обслуживания заявки. Ясно, что время обслуживания заявки напрямую зависит от длины маршрута, а также от интенсивности транспортного потока (пробки на дороге и т.п.). Сразу уточним, что вероятность попасть в пробку на окраинах города, в так называемых “спальных районах” невелика, поэтому мы отбросим это условие. Итак, в нашем случае, время обслуживания заявки зависит только от протяженности маршрута. Так как в задании не даны данные о протяженности маршрутов и стоимости проезда по ним, то будем брать эти сведения из следующей таблицы, построенной исходя из собственного опыта исследователя. (Столбец “Время обслуживания” показывает время, за которое маршрутное такси проедет до своей конечной остановки и обратно до метро - на место посадки пассажиров).

Таблица1. Основные характеристики маршрутов.

Номер маршрута	Длина маршрута (км)	Стоимость проезда (тыс. руб)		Время обслужива- ния заявки (мин)
1	3	3	20
2	4	3,5	25
3	6	5	35
4	5	4,5	30
5	4,5	4	25

Как известно, цены на маршрутные такси не являются “зонными” для каждой конкретной машины. То есть цена, которую вы платите за посадку машины определена и не зависит от того, поедете ли вы до конца маршрута или сойдете у ближайшего перекрестка. Нужно лишь следить за тем, когда последний пассажир покинет машину, то есть будет обслужена последняя заявка и машина может возвращаться снова к месту посадки.

Транспортная фирма, решая эту задачу, должна исходить не только из стремления удовлетворить наибольшее число требований к системе, но и из стремления получить максимальную прибыль при минимальных издержках (затраты на бензин, на выплату заработной платы водителям).Таким образом решение задачи на нахождение оптимального количества машин на линии приводит к необходимости проведения машинного эксперимента, который будет осуществлен позже.

Ясно, что денежная выручка компании будет определяться количеством перевезенных пассажиров. А затраты будут складываться сразу из трех факторов: заработная плата сотрудникам, плата за горючее и плата за ремонт сломанных машин.

Причем можно даже выделить в целях упрощения модели отдельно все вышеперечисленные виды издержек и сказать, что они будут являться линейными системами. В качестве примера рассмотрим затраты на бензин: в качестве оператора системы здесь будет выступать цена бензина за километр пути, входным потоком в систему будет являться количество пройденных машинами километров, а выходным потоком - результат действия оператора на входной поток - стоимость использованного бензина. Данный оператор линеен так как результат его действия на любую линейную комбинацию входных функций является результатом его действия на каждую функцию с данными коэффициентами. Также этот оператор и аддитивен: например, если на вход поступают две функции, численное значение которых равны соответственно 2км и 3км, то при действии оператора, содержащего константу стоимости бензина на один километр S=const, на две эти входные функции вместе, выходная функция будет такой же, как если бы оператор действовал на эти две входящий функции отдельно, а результат затем суммировал:

S*{2+3}=S*{2}+S*{3}

Раз выполняются оба условия линейности оператора, то можно сказать, что оператор линеен. Точно так же доказывается и линейность других операторов систем, представляющих собой виды издержек.

Следует заметить, что в общие затраты не включены еще ряд издержек (за электричество офиса фирмы и т.п.) так как они являются постоянными и не оказывают влияние на результат решения основной задачи моделируемой системы.

Одним из самых важных факторов, определяющих издержки фирмы, является заработная плата сотрудников. В задании не даны данные по ним, но в процессе моделирования мы будем отталкиваться от следующего: для моделирования системы количество водителей, работающих на фирме, должно быть в два раза больше количества машин (так как водители работают в две смены), причем их заработная плата зависит от получаемой выручки и примем ее равной 10% от выручки, а расходы фирмы на управляющий аппарат являются постоянными и не оказывают влияния на поставленную задачу, поэтому их можно не рассматривать.

Из-за того, что машины транспортной компании подвержены поломкам различного характера, а значит в исследуемой системе это соответствует выходу из строя обслуживающих каналов, то здесь имеет место система массового обслуживания с ненадежными элементами. Это означает, что в некоторый момент времени t(cб) происходит отказ (сбой) в работе обслуживающего канала. Отказавший канал может быть отремонтирован за время t(р) и снова находиться в готовности к обслуживанию, начиная с момента времени t(г)=t(сб)+t(р).

Моделирование сбоев можно осуществить следующим путем:

Как известно из задания, частота выхода из строя машины и длительность ремонта зависят от срока службы машины. Следовательно можно определить строгую зависимость в виде графика между сроком службы машины и вероятностью выхода машины из строя. Пусть график вероятности выхода машин из строя будет представлен следующим образом:

Р

1

0,5

0 15 30 t(дни)

где t - дни после очередного ремонта.

Уравнение этой прямой: P(t)=t/60

Моделирование поломок будем осуществлять по методу Монте-Карло: для случайного момента времени вычисляется значение функции Р(t) равное какому-то числу w, затем генерируется случайное число от 0 до 1 и проверяется следующее условие:

если сгенерированное случайное число попало в интервал от 0 до w, то произошла поломка и обслуживающий канал отправляется в ремонт, причем если в момент поломки канал обслуживал заявки, то считается, что заявки покидают систему необслуженными.

Более подробно моделирование поломок будет рассмотрено позднее.

Конечно, в данном описании представлены не все характеристики реального объекта, не все его стороны, но были описаны самые важные, определяющие поведение реального объекта, позволяющие построить имитационную модель и провести исследование результатов. И на основе анализа словесного описания можно построить диаграмму причинно-следственных связей, которая бы отражала связи между элементами системы и характер этих связей. Вообще, на данном этапе можно построить несколько таких ДПСС, но выбирается следующая (параметры системы заданы своими идентификаторами) :

ДФ

- +

+ И + В

+ +

БН ЗП РМ КПЖ

+ + + + +

КМ ИНТ

+ ДРМ

МАШ + ДН ВС

ССЛ

где

ДФ - деньги фирмы (количество денег, имеющихся у фирмы);

И- издержки, затраты фирмы;

В - выручка, прибыль фирмы;

БН- затраты на горючее (бензин);

ЗП - отчисления в фонд заработной платы (заработная плата водителей);

РМ- затраты, связанные с ремонтом автомобилей;

КПЖ - количество перевезенных пассажиров (обслуженных заявок);

КМ - количество километров, пройденных машинами;

ИНТ - интенсивность пассажиропотока;

ДРМ - длительность ремонта автомобилей;

МАШ - количество машин на линиях (в рабочем состоянии);

ССЛ - срок службы машины после последнего ремонта;

ДН - день недели;

ВС - время суток.

На диаграмме показан также и характер связи между элементами системы. Отрицательный характер связи свойственен лишь связи между элементами ДФ и И, так как изменение параметра И не вызывает изменения параметра ДФ в том же направлении. Наоборот, при увеличении издержек финансы фирмы уменьшаются, следовательно, связь между этими элементами отрицательная. Для всех остальных элементов устанавливается положительная связь.

Некоторые элементы системы, и это показано на диаграмме причинно-следственных связей, не имеют входящих стрелок - это связано с тем, что день недели (ДН), время суток (ВС) и срок службы машины (ССЛ) являются временными рядами, а количество машин (МАШ) нам будет задано, после решения вспомогательной задачи на нахождение оптимального количества машин на линиях.