Министерство образования Российской Федерации

Государственный Университет Управления

Кафедра Экономической Кибернетики

Лабораторная Работа № 2

по дисциплине: “Прогнозирование Социально Экономического Развития”

на тему: “Анализ временных рядов”

Выполнил: студент ИИСУ

специальности ММиИОЭ

курс IV группа 1

Постельник М.С.

Проверила: к.э.н., доцент

Писарева О.М.

Москва 2002

Построение модели тренда.

Исходные данные приведены в Приложении 1.

Проверку гипотезы о наличии тенденции в значениях уровней исходного ряда с 1 по 48 период осуществим с помощью метода Фостера-Стюарта (вспомогательные расчеты представлены в Приложении 2).

При n=48, =6.9, ₁=2.1, ₂=2.6

Т.к. |t_s|> t_табл и |t_d|> t_табл , гипотеза о наличии тенденции не отвергается.

Произведем подбор вида модели тренда, дающего наибольшую точность прогноза. Построим некоторые виды моделей тренда для уровней обучающего участка (уровни исходного ряда с 1 по 48 период), а затем произведем оценку точности прогнозирования, используя исходные данные экзаменационного участка (с 49 по 60 период).

Воспользуемся следующими видами регрессионных моделей:

1. полином 2-го порядка

;

2. полином 3-го порядка

;

3. полином 4-го порядка

;

Результаты построения вышеперечисленных моделей приведены в Приложении 3–5.

Приведем результаты оценки параметров моделей:

1. 

2. 

3. 

Приведем сравнительные характеристики моделей:

Модель	S	R2	Kт	Коэффициенты	Модель
1	11.46	0.877	0.071	Значимы	Значима
2	11.56	0.878	0.044	Незначимы	Значима
3	11.68	0.878	0.031	Незначимы	Значима

В качестве вида модели тренда для аналитического выравнивания уровней исходного ряда будем полином 2-го порядка (т.к. другие модели имеют незначимые параметры).

Построение периодического тренда для случайного компонента.

После построения модели тренда, используя равенство , выразим случайную составляющую, как . Исходные данные приведены в Приложениях 6 и 7.

Длина периода m=12 (Приложение 7). Для полученного ряда остатков построим циклический тренд, который примет вид:

Значения коэффициентов определим по следующим формулам:

Полученные значения представлены ниже (Приложение 8):

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
ak	0,00000034	-5,4773	7,8878	-2,6681	4,7348	0,6325	-0,8497	-0,0590	0,9769	-0,4361	1,0884	0,1101

Проверим гипотезу о том, что тренд не содержит периодической составляющей. Расчетное значение F-статистики определяем как:

Значение расчетного критерия больше значения границы критической области, вследствие чего гипотезу об отсутствии в модели тренда периодической составляющей отвергаем.

Гипотезу о значимости параметров a₀ и a_m-1 проверяется по критерию Стьюдента, а параметров a_2j-1 и a_2j (для j=1,..,m/2-1) по распределению Хи-квадрат.

Полученные значения:

S²=80,6788

j	k	ak	Da	2	tр	2р
	0	0,00000034	1,6808		0,00000026
1	1	-5,4773		92,2179		27,4326
	2	7,8878
2	3	-2,6681		29,5369		8,7865
	4	4,7348
3	5	0,6325		1,1220		0,3338
	6	-0,8497
4	7	-0,0590		0,9577		0,2849
	8	0,9769
5	9	-0,4361		1,3748		0,4090
	10	1,0884
	11	0,1101	1,6808		0,0849

Как видно из таблицы, значимыми оказались только 1-я и 2-я гармоники.

В итоге периодический тренд для остатков примет следующий вид (Приложение 9):

Проверим нулевую гипотезу о том, что тренд не содержит периодической составляющей. Расчетное значение F-статистики определяем как:

Построение прогноза.

Перед построением прогноза, необходимо выбрать наиболее подходящую модель (Приложение 10):

1)

2)

Модель	S	R2	Kт
1	11,4601	0,8773	0,0712
2	8,3382	0,9408	0,0900

Примечание: К_Т рассчитан для уровней ряда исходных данных с 49 по 60 период.

Для построения прогноза выберем 2-ю модель. Перестроим ранее полученную модель для всего ретроспективного периода (Приложение 14 ):

Построим прогноз на 1975 год, т.е. на 61-72 период:

t	Yмод	Верхняя граница	Нижняя граница
61	273,65	253,28	294,02
62	283,43	263,06	303,80
63	288,44	268,07	308,81
64	289,70	269,33	310,07
65	291,02	270,65	311,39
66	294,92	274,55	315,29
67	300,07	279,70	320,44
68	303,10	282,73	323,47
69	302,62	282,25	322,99
70	301,34	280,97	321,71
71	304,02	283,65	324,39
72	313,02	292,65	333,39

Приложение 1

Исходные данные.

	1970	1971	1972	1973	1974
январь	325	265	271	236	228
февраль	335	268	262	238	237
март	336	270	263	215	241
апрель	321	270	252	243	244
май	313	267	228	245	247
июнь	308	268	229	244	248
июль	301	264	234	249	256
август	296	259	233	246	259
сентябрь	285	239	224	241	261
октябрь	285	229	214	240	257
ноябрь	280	221	210	240	267
декабрь	277	231	227	238	259

Динамика развития наблюдаемого явления.

Приложение 2

t	Y	u	l	s	d
1	325	0	0	0	0
2	335	1	0	1	1
3	336	1	0	1	1
4	321	0	1	1	-1
5	313	0	1	1	-1
6	308	0	1	1	-1
7	301	0	1	1	-1
8	296	0	1	1	-1
9	285	0	1	1	-1
10	285	0	0	0	0
11	280	0	1	1	-1
12	277	0	1	1	-1
13	265	0	1	1	-1
14	268	0	0	0	0
15	270	0	0	0	0
16	270	0	0	0	0
17	267	0	0	0	0
18	268	0	0	0	0
19	264	0	1	1	-1
20	259	0	1	1	-1
21	239	0	1	1	-1
22	229	0	1	1	-1
23	221	0	1	1	-1
24	231	0	0	0	0
25	271	0	0	0	0
26	262	0	0	0	0
27	263	0	0	0	0
28	252	0	0	0	0
29	228	0	0	0	0
30	229	0	0	0	0
31	234	0	0	0	0
32	233	0	0	0	0
33	224	0	0	0	0
34	214	0	1	1	-1
35	210	0	1	1	-1
36	227	0	0	0	0
37	236	0	0	0	0
38	238	0	0	0	0
39	245	0	0	0	0
40	243	0	0	0	0
41	245	0	0	0	0
42	244	0	0	0	0
43	249	0	0	0	0
44	246	0	0	0	0
45	241	0	0	0	0
46	240	0	0	0	0
47	240	0	0	0	0
48	238	0	0	0	0
				18	-14

Приложение 3

Полином 2-го порядка:

Приложение 4

Полином 3-го порядка:

Приложение 5

Полином 4-го порядка:

Приложение 6

Исходные данные, значения уровней тренда (квадрат. парабола) и ряд остатков.

t	Y	Yмод	e
1	325	334,68	-9,68
2	335	328,80	6,20
3	336	323,09	12,91
4	321	317,56	3,44
5	313	312,20	0,80
6	308	307,02	0,98
7	301	302,02	-1,02
8	296	297,19	-1,19
9	285	292,53	-7,53
10	285	288,05	-3,05
11	280	283,75	-3,75
12	277	279,62	-2,62
13	265	275,67	-10,67
14	268	271,89	-3,89
15	270	268,29	1,71
16	270	264,87	5,13
17	267	261,62	5,38
18	268	258,54	9,46
19	264	255,65	8,35
20	259	252,92	6,08
21	239	250,37	-11,37
22	229	248,00	-19,00
23	221	245,81	-24,81
24	231	243,79	-12,79
25	271	241,94	29,06
26	262	240,27	21,73
27	263	238,78	24,22
28	252	237,46	14,54
29	228	236,32	-8,32
30	229	235,35	-6,35
31	234	234,56	-0,56
32	233	233,94	-0,94
33	224	233,50	-9,50
34	214	233,23	-19,23
35	210	233,14	-23,14
36	227	233,23	-6,23
37	236	233,49	2,51
38	238	233,93	4,07
39	245	234,54	10,46
40	243	235,33	7,67
41	245	236,29	8,71
42	244	237,43	6,57
43	249	238,75	10,25
44	246	240,24	5,76
45	241	241,90	-0,90
46	240	243,74	-3,74
47	240	245,76	-5,76
48	238	247,95	-9,95

Приложение 7

Уровни исходного ряда, тренда (квадрат. парабола) и ряда остатков.

Приложение 8

t	e	j
		1		2		3		4		5
1	-9,68	-8,38	-4,84	-4,84	-8,38	0,00	-9,68	4,84	-8,38	8,38	-4,84	9,68
2	6,20	3,10	5,37	-3,10	5,37	-6,20	0,00	-3,10	-5,37	3,10	-5,37	6,20
3	12,91	0,00	12,91	-12,91	0,00	0,00	-12,91	12,91	0,00	0,00	12,91	-12,91
4	3,44	-1,72	2,98	-1,72	-2,98	3,44	0,00	-1,72	2,98	-1,72	-2,98	3,44
5	0,80	-0,69	0,40	0,40	-0,69	0,00	0,80	-0,40	-0,69	0,69	0,40	-0,80
6	0,98	-0,98	0,00	0,98	0,00	-0,98	0,00	0,98	0,00	-0,98	0,00	0,98
7	-1,02	0,88	0,51	-0,51	-0,88	0,00	1,02	0,51	-0,88	-0,88	0,51	1,02
8	-1,19	0,59	1,03	0,59	-1,03	-1,19	0,00	0,59	1,03	0,59	-1,03	-1,19
9	-7,53	0,00	7,53	7,53	0,00	0,00	-7,53	-7,53	0,00	0,00	7,53	7,53
10	-3,05	-1,53	2,64	1,53	2,64	3,05	0,00	1,53	-2,64	-1,53	-2,64	-3,05
11	-3,75	-3,25	1,87	-1,87	3,25	0,00	3,75	1,87	3,25	3,25	1,87	3,75
12	-2,62	-2,62	0,00	-2,62	0,00	-2,62	0,00	-2,62	0,00	-2,62	0,00	-2,62
13	-10,67	-9,24	-5,34	-5,34	-9,24	0,00	-10,67	5,34	-9,24	9,24	-5,34	10,67
14	-3,89	-1,95	-3,37	1,95	-3,37	3,89	0,00	1,95	3,37	-1,95	3,37	-3,89
15	1,71	0,00	1,71	-1,71	0,00	0,00	-1,71	1,71	0,00	0,00	1,71	-1,71
16	5,13	-2,57	4,44	-2,57	-4,44	5,13	0,00	-2,57	4,44	-2,57	-4,44	5,13
17	5,38	-4,66	2,69	2,69	-4,66	0,00	5,38	-2,69	-4,66	4,66	2,69	-5,38
18	9,46	-9,46	0,00	9,46	0,00	-9,46	0,00	9,46	0,00	-9,46	0,00	9,46
19	8,35	-7,24	-4,18	4,18	7,24	0,00	-8,35	-4,18	7,24	7,24	-4,18	-8,35
20	6,08	-3,04	-5,26	-3,04	5,26	6,08	0,00	-3,04	-5,26	-3,04	5,26	6,08
21	-11,37	0,00	11,37	11,37	0,00	0,00	-11,37	-11,37	0,00	0,00	11,37	11,37
22	-19,00	-9,50	16,46	9,50	16,46	19,00	0,00	9,50	-16,46	-9,50	-16,46	-19,00
23	-24,81	-21,48	12,40	-12,40	21,48	0,00	24,81	12,40	21,48	21,48	12,40	24,81
24	-12,79	-12,79	0,00	-12,79	0,00	-12,79	0,00	-12,79	0,00	-12,79	0,00	-12,79
25	29,06	25,17	14,53	14,53	25,17	0,00	29,06	-14,53	25,17	-25,17	14,53	-29,06
26	21,73	10,86	18,82	-10,86	18,82	-21,73	0,00	-10,86	-18,82	10,86	-18,82	21,73
27	24,22	0,00	24,22	-24,22	0,00	0,00	-24,22	24,22	0,00	0,00	24,22	-24,22
28	14,54	-7,27	12,59	-7,27	-12,59	14,54	0,00	-7,27	12,59	-7,27	-12,59	14,54
29	-8,32	7,20	-4,16	-4,16	7,20	0,00	-8,32	4,16	7,20	-7,20	-4,16	8,32
30	-6,35	6,35	0,00	-6,35	0,00	6,35	0,00	-6,35	0,00	6,35	0,00	-6,35
31	-0,56	0,48	0,28	-0,28	-0,48	0,00	0,56	0,28	-0,48	-0,48	0,28	0,56
32	-0,94	0,47	0,81	0,47	-0,81	-0,94	0,00	0,47	0,81	0,47	-0,81	-0,94
33	-9,50	0,00	9,50	9,50	0,00	0,00	-9,50	-9,50	0,00	0,00	9,50	9,50
34	-19,23	-9,62	16,66	9,62	16,66	19,23	0,00	9,62	-16,66	-9,62	-16,66	-19,23
35	-23,14	-20,04	11,57	-11,57	20,04	0,00	23,14	11,57	20,04	20,04	11,57	23,14
36	-6,23	-6,23	0,00	-6,23	0,00	-6,23	0,00	-6,23	0,00	-6,23	0,00	-6,23
37	2,51	2,17	1,25	1,25	2,17	0,00	2,51	-1,25	2,17	-2,17	1,25	-2,51
38	4,07	2,04	3,53	-2,04	3,53	-4,07	0,00	-2,04	-3,53	2,04	-3,53	4,07
39	10,46	0,00	10,46	-10,46	0,00	0,00	-10,46	10,46	0,00	0,00	10,46	-10,46
40	7,67	-3,84	6,64	-3,84	-6,64	7,67	0,00	-3,84	6,64	-3,84	-6,64	7,67
41	8,71	-7,54	4,35	4,35	-7,54	0,00	8,71	-4,35	-7,54	7,54	4,35	-8,71
42	6,57	-6,57	0,00	6,57	0,00	-6,57	0,00	6,57	0,00	-6,57	0,00	6,57
43	10,25	-8,88	-5,13	5,13	8,88	0,00	-10,25	-5,13	8,88	8,88	-5,13	-10,25
44	5,76	-2,88	-4,99	-2,88	4,99	5,76	0,00	-2,88	-4,99	-2,88	4,99	5,76
45	-0,90	0,00	0,90	0,90	0,00	0,00	-0,90	-0,90	0,00	0,00	0,90	0,90
46	-3,74	-1,87	3,24	1,87	3,24	3,74	0,00	1,87	-3,24	-1,87	-3,24	-3,74
47	-5,76	-4,99	2,88	-2,88	4,99	0,00	5,76	2,88	4,99	4,99	2,88	5,76
48	-9,95	-9,95	0,00	-9,95	0,00	-9,95	0,00	-9,95	0,00	-9,95	0,00	-9,95
	0,00	-131,46	189,31	-64,03	113,63	15,18	-20,39	-1,42	23,44	-10,47	26,12	5,29

Приложение 9

Ряд остатков и периодический тренд ряда остатков.

Приложение 10

t	Y	Yмод	e	Yмод+e
1	325	334,68	1,97	334,21
2	335	328,80	9,53	336,31
3	336	323,09	10,56	331,74
4	321	317,56	6,80	322,31
5	313	312,20	3,25	313,26
6	308	307,02	2,81	307,62
7	301	302,02	3,57	303,47
8	296	297,19	1,34	296,43
9	285	292,53	-5,22	285,09
10	285	288,05	-12,34	273,36
11	280	283,75	-14,12	267,37
12	277	279,62	-8,15	269,63
13	265	275,67	1,97	276,37
14	268	271,89	9,53	280,59
15	270	268,29	10,56	278,15
16	270	264,87	6,80	270,85
17	267	261,62	3,25	263,92
18	268	258,54	2,81	260,41
19	264	255,65	3,57	258,38
20	259	252,92	1,34	253,47
21	239	250,37	-5,22	244,26
22	229	248,00	-12,34	234,66
23	221	245,81	-14,12	230,79
24	231	243,79	-8,15	235,17
25	271	241,94	1,97	244,04
26	262	240,27	9,53	250,39
27	263	238,78	10,56	250,07
28	252	237,46	6,80	244,90
29	228	236,32	3,25	240,09
30	229	235,35	2,81	238,71
31	234	234,56	3,57	238,81
32	233	233,94	1,34	236,02
33	224	233,50	-5,22	228,93
34	214	233,23	-12,34	221,46
35	210	233,14	-14,12	219,71
36	227	233,23	-8,15	226,23
37	236	233,49	1,97	237,22
38	238	233,93	9,53	245,69
39	245	234,54	10,56	247,50
40	243	235,33	6,80	244,46
41	245	236,29	3,25	241,77
42	244	237,43	2,81	242,52
43	249	238,75	3,57	244,74
44	246	240,24	1,34	244,08
45	241	241,90	-5,22	239,12
46	240	243,74	-12,34	233,77
47	240	245,76	-14,12	234,15
48	238	247,95	-8,15	242,79
49	228	250,32	1,97	255,90
50	237	252,87	9,53	266,51
51	241	255,58	10,56	270,44
52	244	258,48	6,80	269,52
53	247	261,55	3,25	268,97
54	248	264,80	2,81	271,84
55	256	268,22	3,57	276,18
56	259	271,81	1,34	277,65
57	261	275,59	-5,22	274,81
58	257	279,54	-12,34	271,59
59	267	283,66	-14,12	274,10
60	259	287,96	-8,15	284,86

Приложение 11

Модель тренда (полином 2-го порядка).

Приложение 12

Исходные данные, модель тренда (квадрат. парабола) и прогноз на 61-72 периоды.

Приложение 13

Общая модель (полином 2-го порядка и циклический тренд).

Multiple Regression Analysis

-----------------------------------------------------------------------------

Dependent variable: Y1

-----------------------------------------------------------------------------

Standard T

Parameter Estimate Error Statistic P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

CONSTANT 337,992 3,80151 88,91 0,0000

t -6,06004 0,355758 -17,0342 0,0000

t^2 0,088575 0,00702896 12,6014 0,0000

Cos1 -5,59963 1,70325 -3,28762 0,0021

Sin1 8,33102 1,73042 4,81444 0,0000

Cos2 -2,79586 1,70449 -1,64029 0,1086

Sin2 4,92797 1,70125 2,89668 0,0060

-----------------------------------------------------------------------------

Analysis of Variance

-----------------------------------------------------------------------------

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

Model 45309,8 6 7551,63 108,62 0,0000

Residual 2850,56 41 69,5259

-----------------------------------------------------------------------------

Total (Corr.) 48160,3 47

R-squared = 94,0811 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 93,2149 percent

Standard Error of Est. = 8,33822

Mean absolute error = 5,93211

Durbin-Watson statistic = 1,03552

95,0% Confidence intervals for coefficient estimates

-----------------------------------------------------------------------------

Standard

Parameter Estimate Error Lower Limit Upper Limit

-----------------------------------------------------------------------------

CONSTANT 337,992 3,80151 330,315 345,67

t -6,06004 0,355758 -6,77851 -5,34158

t^2 0,088575 0,00702896 0,0743797 0,10277

Cos1 -5,59963 1,70325 -9,03942 -2,15984

Sin1 8,33102 1,73042 4,83635 11,8257

Cos2 -2,79586 1,70449 -6,23816 0,646443

Sin2 4,92797 1,70125 1,49222 8,36372

-----------------------------------------------------------------------------

Приложение 14

Общая модель (полином 2-го порядка и циклический тренд).

Multiple Regression Analysis

-----------------------------------------------------------------------------

Dependent variable: Y

-----------------------------------------------------------------------------

Standard T

Parameter Estimate Error Statistic P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

CONSTANT 335,082 3,73508 89,7121 0,0000

t -5,49904 0,281414 -19,5407 0,0000

t^2 0,073531 0,00446736 16,4596 0,0000

Cos1 -4,89268 1,69148 -2,89255 0,0055

Sin1 5,53318 1,70909 3,2375 0,0021

Cos2 -2,42362 1,69428 -1,43047 0,1585

Sin2 3,55659 1,6894 2,10524 0,0400

-----------------------------------------------------------------------------

Analysis of Variance

-----------------------------------------------------------------------------

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

Model 45882,9 6 7647,15 88,96 0,0000

Residual 4556,09 53 85,9641

-----------------------------------------------------------------------------

Total (Corr.) 50439,0 59

R-squared = 90,9671 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 89,9445 percent

Standard Error of Est. = 9,27168

Mean absolute error = 7,21013

Durbin-Watson statistic = 0,838494

95,0% Confidence intervals for coefficient estimates

-----------------------------------------------------------------------------

Standard

Parameter Estimate Error Lower Limit Upper Limit

-----------------------------------------------------------------------------

CONSTANT 335,082 3,73508 327,59 342,574

t -5,49904 0,281414 -6,06348 -4,93459

t^2 0,073531 0,00446736 0,0645706 0,0824914

Cos1 -4,89268 1,69148 -8,28535 -1,5

Sin1 5,53318 1,70909 2,10517 8,96119

Cos2 -2,42362 1,69428 -5,82191 0,974685

Sin2 3,55659 1,6894 0,168082 6,94511

-----------------------------------------------------------------------------

Приложение 15

Исходные данные, общая модель тренда (квадрат. парабола и циклический тренд) и прогноз на 61-72 периоды.

Приложение 16

Multiple Regression Analysis

-----------------------------------------------------------------------------

Dependent variable: e

-----------------------------------------------------------------------------

Standard T

Parameter Estimate Error Statistic P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

CONSTANT 0,0 1,29649 0,0 1,0000

Cos1 -5,46451 1,82933 -2,98716 0,0050

Sin1 7,87175 1,82933 4,30307 0,0001

Cos2 -2,66854 1,83352 -1,45542 0,1542

Sin2 4,71228 1,82514 2,58187 0,0140

Cos3 0,63125 1,83352 0,344284 0,7326

Sin3 -0,84875 1,83352 -0,462908 0,6462

Cos4 -0,058125 1,83352 -0,0317014 0,9749

Sin4 0,972342 1,82514 0,532749 0,5975

Cos5 -0,447989 1,82933 -0,244892 0,8079

Sin5 1,1045 1,82933 0,603774 0,5498

_11 0,110417 1,29649 0,0851657 0,9326

-----------------------------------------------------------------------------

Analysis of Variance

-----------------------------------------------------------------------------

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

Model 3004,9 11 273,173 3,39 0,0027

Residual 2904,58 36 80,6829

-----------------------------------------------------------------------------

Total (Corr.) 5909,48 47

R-squared = 50,8488 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 35,8303 percent

Standard Error of Est. = 8,98236

Mean absolute error = 6,13219

Durbin-Watson statistic = 0,927629