Описание лдс в z-области
Основной
характеристикой ЛДС в z-области является
передаточная функция
– z-изображение ИХ
:
Передаточной функцией ЛДС называют отношение z-изображения реакции к z-изображению воздействия при ННУ:
.
Данное отношение легко получить, выполнив Z-преобразование РУ (10). Передаточная функция рекурсивной ЛДС имеет вид дробно-рациональной функции:
12\* MERGEFORMAT ()
Показатель
степени
соответствует задержкам воздействия,
a
– задержкам реакции; коэффициенты
передаточной функции и РУ (10) имеют
противоположные знаки.
Для нерекурсивных ЛДС передаточная функция, с учетом (11), принимает вид:
13\* MERGEFORMAT ()
Порядок
рекурсивной ЛДС равен порядку
знаменателя передаточной
функции (12)
,
при соблюдении условия
(по умолчанию).
Порядок
нерекурсивной ЛДС равен
.
Нулями передаточной функции называют значения z, при которых она равна нулю, а полюсами (особыми точками) – значения z, при которых ее знаменатель равен нулю.
Картой нулей и полюсов называют z-плоскость с нанесенной единичной окружностью и символически изображенными нулями и полюсами.
По карте нулей и полюсов можно сделать вывод об устойчивости ЛДС: полюсы устойчивой ЛДС располагаются внутри единичного круга [1].
Комплексно
сопряженные нули
и полюсы
представляют в показательной форме,
где аргументы – углы (в радианах) на
комплексной z-плоскости:
14\* MERGEFORMAT ()
Помимо общего вида (12), передаточная функция рекурсивных ЛДС может быть представлена следующими своими разновидностями REF ZEqnNum360171 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT :
произведение простейших множителей:
15\* MERGEFORMAT ()
где
,
– соответственно k-е нуль
и полюс передаточной функции (12).
В общем случае нули и полюсы – попарно комплексно сопряженные числа;
произведение множителей второго порядка:
16\* MERGEFORMAT ()
где
– вещественные коэффициенты
рекурсивных звеньев 2-го порядка,
называемых также биквадратными;
– количество звеньев равное
где int – функция округления до ближайшего целого в сторону увеличения.
В
MATLAB используется представление
передаточной функции (16) в эквивалентном
виде, получаемом при вынесении за скобки
коэффициентов
:
17\* MERGEFORMAT ()
где
– коэффициент усиления, а соответствующие
коэффициенты связаны соотношениями:
сумма простых дробей:
18\* MERGEFORMAT ()
где
– простой (не кратный) k-й
полюс передаточной функции (12);
коэффициент разложения при k-м
полюсе;
и
всегда числа одинакового типа, комплексные
или вещественные.
При
одинаковых порядках числителя и
знаменателя
в (12) будем иметь в (18) целую часть
– вещественную константу C:
19\* MERGEFORMAT ()
В MATLAB ДЛЯ представления передаточной функции (12) в виде произведения простейших множителей (15) используется функция:
[q,p,K] = tf2zpk(b,a)
где
b,
a
– векторы коэффициентов числителя
и знаменателя –
передаточной функции (12); q,
р
– векторы-столбцы нулей
и полюсов
передаточной функции (15), представленные
в алгебраической форме; K
– коэффициент усиления
в (15).
Представление передаточной функции (12) в виде произведения множителей второго порядка (17) выполняется с помощью функции:
[s, G]= tf2sos(b,a)
где
b,
a
определены ранее для функции tf2zpk;
G
– коэффициент усиления
в (17); s
матрица коэффициентов числителей и
знаменателей биквадратных в передаточной
функции (17) в виде:
20\* MERGEFORMAT ()
представления передаточной функции (12) в виде суммы простых дробей (19) применяется функция:
[r,p,c] = residuez(b,а)
где b, a определены ранее для функции tf2zpk; r,p – векторы-столбцы коэффициентов разложения и полюсов в (19), представленные в алгебраической форме; с – целая часть C в (19); при ее отсутствии выводится пустая матрица c=[].
Карта нулей и полюсов передаточной функции выводится с помощью функции:
zplane(b,а)