7. Литература

1. Солонина А. И., Улахович Д. А., Арбузов С. М., Соловьева Е. Б. Основы цифровой обработки сигналов.– 2-е изд.– СПб.: БХВ-Петербург, 2005.– Г вы 4–7.

2. Солонина А. И., Арбузов С. М. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB. – СПб.: БХВ-Петербург, 2008. – Главы 9–10.

3. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов.– 3-е изд.– СПб.: БХВ-Петербург, 2010. – Глава 4

Приложение А.

Линейные дискретные системы

Системой обработки сигналов (системой) называется объект, выполняющий требуемое преобразование входного сигнала (воздействия) в выходной (реакцию).

В соответствии с определением, системой можно называть как физическое устройство, так и математическое преобразование. По умолчанию под системой будем понимать математическое преобразование.

Математической моделью системы называют ее соотношение вход/выход, которое устанавливает связь между входным и выходным сигналами.

Систему называют линейной, если она отвечает условиям аддитивности (реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на данные воздействия ^{REF ZEqnNum360171 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT} ) и однородности (воздействию, умноженному на весовой коэффициент, соответствует реакция, умноженная на тот коэффициент).

Систему называют дискретной, если она преобразует дискретное воздействие в дискретную реакцию .

Систему называют стационарной, если ее реакция инвариантна по отношению к началу отсчета времени (свойство инвариантности во времени). Параметры стационарной системы неизменны во времени; задержке воздействия соответствия такая же задержка реакции.

По умолчанию будем рассматривать стационарные линейные дискретные систе (ЛДС).

Нулевые начальные условия (ННУ) означают, что все значения воздействия и реакции, которые может помнить ЛДС в моменты времени, предшествующие началу воздействия ^{REF ZEqnNum360171 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT} , равны нулю:

т.е. воздействие и реакция в области отрицательного времени равны нулю.

В ЛДС с одним входом и одним выходом соотношение вход/выход представляет линейное математическое преобразование, вид которого однозначно связан с основной характеристикой ЛДС во временной области или в z-области.

Под моделированием ЛДС понимают вычисление ее реакции в соответствии с соотношением вход/выход, а под анализом ЛДС – анализ ее характеристик во временной, z- и частотной областях.

1. Описание лдс во временной области

Основной характеристикой ЛДС во временной области является импульсная характеристика (ИХ).

Импульсной характеристикой ЛДС называют ее реакцию на цифровой единый импульс при ННУ

8\* MERGEFORMAT ()

Соотношение вход/выход ЛДС, однозначно связанное с его основной характеристикой во временной области – ИХ, имеет вид линейного математического преобразования в виде формулы свертки:

, 9\* MERGEFORMAT ()

где – задержка последовательности.

Соотношение вход/выход ЛДС, однозначно связанное с его основной характеристикой в z-области – передаточной функцией, имеет вид линейного математического преобразования в виде разностного уравнения (РУ):

10\* MERGEFORMAT ()

где , – вещественные коэффициенты РУ – параметры ЛДС; i, k – значения задержек воздействия и реакции; , – константы, определяющие максимальные задержки.

В отличие от линейных аналоговых систем, где соответствующие соотношения вод, выход имеют вид интеграла свертки или линейного дифференциального уравнения, вычисление реакции по формуле свертки (9) или РУ (10) выполняется методом прямой подстановки при ННУ, т. е. эти соотношения непосредственно описывают алгоритмы вычисления реакции.

По виду РУ различают два типа ЛДС:

• рекурсивная ЛДС, реакция которой зависит от текущего и предшествующих отсчетов воздействия и предшествующих отсчетов реакции, т. е.:

хотя бы для одного значения k;

• нерекурсивная ЛДС, реакция которой зависит только от текущего и предшествующих отсчетов воздействия, т. е.:

для всех k.

Рекурсивные и нерекурсивные ЛДС имеют соответственно бесконечную и конечную ИХ, отсюда их тождественные названия:

• БИХ ЛДС (IIR – Infinite Impulse Response);

• КИХ ЛДС (FIR – Finite Impulse Response).

Импульсная характеристика КИХ ЛДС совпадает с коэффициентами РУ (10):

. 11\* MERGEFORMAT ()

В MATLAB вычисление реакции по формуле свертки (9) выполняется с помощью функции:

у = conv(h,x)

где h– вектор отсчетов ИХ длины , бесконечная ИХ рекурсивной ЛДС ограничивается до конечной длины; х – вектор отсчетов воздействия длины ; у – вектор отсчетов реакции длины (длина свертки).

Вычисление реакции по РУ (10) выполняется с помощью функции:

у = filter(b,а,х)

где b, a– векторы коэффициентов и ; x – вектор отсчетов воздействия; у – вектор отсчетов реакции с длиной, равной длине действия.

Обратим внимание на то, что коэффициенты записываются без учета знака "минус", стоящего перед суммой в РУ (10).

Импульсная характеристика вычисляется с помощью функции:

h = impz(b,a,N)

где b, a – определены ранее для функции filter; N – количество отсчетов (длина) ИХ; h – вектор отсчетов ИХ.

Импульсная характеристика может также вычисляться с помощью функции filter если в качестве воздействия используется цифровой единичный импульс (8).