Отсюда получим

.

Подставляя теперь выражение для g(z) и h(z) в (4.13), получим:

. (4.14)

Аналогично может быть получено симметричное выражение (исходя теперь из предположения, что Z не зависит по полезности от Y)

. (4.15)

Используем последнее уравнение (4.15) для вычисления u(y¹,z), входящего в предшествующее (4.14), и подставим его туда:

т.е. мы получим первое из требуемых представлений u(y,z). Введём теперь функции u_y() и u_z() в соответствии со следующими условиями:

и определим

Получим второе требуемое представление для u(y,z). Доказательство (3)-го условия теоремы получается прямой подставкой в только что полученное представление для u(z,y) значений y=y^* и z=z^*.

4.3 Стохастическое доминирование

Теория Неймана-Моргенштерна, отвечая на вопрос о принципе и способе выбора наилучшей альтернативы в условиях риска, оставляет открытым вопрос о степени общности получаемых на её основе рекомендаций. Поэтому предъявляются исключительно высокие требования к точности построений ФП (если она другая, то результат получится другой). В то же время ясно, что некоторые лотереи (т.е. альтернативы) могут отличаться друг от друга таким образом, что любой, принимающий решение, независимо от конкретного вида его ФП (или при очень больших требованиях к этому виду) будет предпочитать одну лотерею другой, следуя некоторым общимправилам действий. Речь идет о выделении таких классов ситуаций, чтобы мы могли сказать: неважно какой вид имеет функция полезности, наши действия должны быть следующими.

Решение следует искать в классе задач оценки по ограниченной информации. В этом случае следует перейти к задаче сопоставления распределений рассматриваемых альтернатив. Обобщение распределений вероятностей производится на основе функций распределения.

В общем случае вид критерия и набор функции распределения F_i(x) зависит от содержательного смысла задачи выбора альтернативы.

Например, пустьF_A и F_B функции распределения для A и B. Если большие значения X предпочтительнее меньших значений (рис.17а) то естественно, что B предпочтительнее А.

F_A

F_B

00

X X Рис. 17а Рис.17б

Однако последнее замечание не будет обоснованным, если исходить из плотности распределения, представленной на рис.17б. Кроме того, функции распределения могут пересекаться и более замысловато, что ведет к отсутствию полного доминирования по вероятности. Для решения такого рода задач (задач выбора альтернатив) в условия неопределенности и риска требуется введение упорядоченности во множестве одновременных функций распределения F_i(x). Такая процедура введения частичной упорядоченности во множестве одномерных функций распределения называется стохастическим доминированием.

Теперь ясно, что сложность постановки и решения задач стохастического доминирования обусловлена тем обстоятельством, что искомое решение в сильной степени зависит от конкретного вида распределения.

Различают понятие стохастического доминирования первого и второго порядка в зависимости от того, накладывается ли при этом ограничения на знак только первой или первой и второй производных функций полезности. Ограничения берутся такие: u^()>0 – возрастание полезности с ростом значения аргумента и u^()<0 – несклонноcть к риску.

Для стохастического доминирования 1-го порядка имеем: функция распределения G(t) доминирует функцию распределения F(t) в смысле первого порядка, если F(t)  G(t) для всех x. В терминах функции полезности данное заключение выглядит так:

Теорема 4.9. Все ЛПР с u^()>0 предпочитают случайную величину y случайной величине x тогда и только тогда, когда для любого t [min(y,x),max(y,x)]

F(t)  G(t)

и по крайне мере для одного t неравенство строгое, где F() и G() – функции распределения x и y соответственно.

Доказательство.

Достаточность. (Предпочтение F(t)G(t)). Если ЛПР предпочитает yRx, то E[u(y)] > E[u(x)]. Это можно переписать в виде:

гдеa = min(y,x), b = max(y,x) и g(t) и f(t)- функции плотности распределения у и х. Используя правило интегрирования по частям, выражение в правой части перепишем в виде:

Поскольку G(b)=F(b)=1 и G(a)=F(a)=0,то отсюда

При u'(t)>0 и F(t)G(t) (при одном из t неравенство строгое) это последнее неравенство выполняется. Следовательно, с учетом эквивалентности всех сделанных нами преобразований,

Е[u(y)]>E[u(x)].

Необходимость. (Предпочтение  F(t)G(t)). Предположим, что F(t)<G(t) на некотором интервале. Покажем, что при этом можно подобрать такую ФП, что E[u(y)]<E[u(x)]. Для этого достаточно, чтобы u'()>0 было достаточно малым числом вне указанного интервала и достаточно большим внутри. Иллюстрация выше приведенных рассуждений приведена на рис.18

U(x)

F(t)>G(t) F(t)<G(t) F(t)>G(t)

Рис.18 Иллюстрация доказательства необходимости теоремы

Примеры таких функцийF и G представлены на рис.19 (а и б).

F F

G G

Рис.19а Рис.19б

Если мы попытаемся еще более сузить обобщение (например, выделить класс всех несклонных к риску ЛПР), то на помощь приходит понятие стохастического доминирования второго порядка.

В 1970 году Ротшильд и Стиглиц доказали, что если E[x]=E[y] и

(все обозначения – прежние), то все несклонные к риску ЛПР (т.е. имеющиеu''()<0) предпочтут y, а не x.

Решение производителя на конкурентном рынке.

Рассмотрим производителя некоторого товара с функцией переменных затрат c(a)и постоянными затратамиB. При этом будем предполагать, что с’(a)>0. Произведенный товар может быть продан по ценеp, которая на этапе принятия решений об объеме производстве является случайной и становится известной лишь после того, как продукт произведен (типичным примером такого рода ситуации является производство сельскохозяйственной продукции). Изучим вопрос об оптимальном поведении такого производителя. Отметим, что этот вопрос относится скорее к области микроэкономики, чем к инструментам принятия решений. Рассматриваемая модель дескриптивна, т.е. описывает поведение агента рынка, а не предписывает ему, как принимать решение.

Итак, конечный уровень благосостояния такого производителя (после реализации произведенного товара) задается выражением

w_f = w₀ + pa – c(a) – B

Оптимальный уровень производства может быть найден из соотношения:

или

Этому соотношению можно придать несколько иной вид, в большей мере проясняющий его смысл.

Теперь окончательно получим (4.16)

Для выяснения смысла этого условия оптимальности сопоставим его с условием оптимальности для детерминированного аналога рассматриваемой нами задачи w_f max

Имеем (4.17)

Сопоставляя (4.16) и (4.17) видим, что оба уравнения представляют собой не что что иное, как уравнения маржинальной выручки и маржинальных затрат. Только в (4.16) этоожидаемаямаржинальная выручка. В (4.16) маржинальные затраты состоят из двух компонент:c’(a)–физическиемаржинальные затраты, а

т.н.психологические. Можно видеть, что

поскольку знак ковариации - это знак коэффициента корреляции между u^’()иp. Такая корреляция для несклонного к риску ЛПР заведомо отрицательна (чем большеp, тем, при прочих равных условиях, большеw_f - аргумент функции полезности, а, следовательно, меньшеu^’()– ведьu^’() – убывающая функция своего аргумента – т.к.u^”()<0).

Следует сделать следующее важное замечание. Все приведенные выше рассуждения предназначены для случая с^”()>0, поскольку только в этом случаеw_f оказывается выпуклой вверх функциейaи станционарная точка ее есть точка максимума.

Геометрически решение задачи оптимизации представлено на рис.20

E[p]12

(4.16) (4.17)а

Рис.20 Иллюстрация решения задачи оптимизации 4.17

Теперь для продолжения сопоставления оптимальных решений детерминированного и стохастического вариантов модели поведения производжителя рассмотрим влияние постояннных затрат (B). В детерминированном вариантеВ не влияет на оптимальное поведение производителя (за исключением ситуации, когдаBслишком велико и оптимальная стратегия – уход из бизнеса). В стохастическом варианте ситуация сложнее. Пусть

Нетрудно видеть, что

иприu^”()<0,c^”()>0последнее выражение заведомо отрицательно. Решение задачи на оптимумa есть отыскание корня убывающей функцииH,поскольку на самом делеHпараметрически зависит отB. Если увеличениеB(при прочих равных условиях) приводит к увеличениюH, то кореньHувеличится и наоборот. Поэтому

Мы используем этот результат при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 4.10. Если абсолютная несклонность к риску есть убывающая функция благосостояния, увеличение постоянных затрат уменьшает оптимальный уровень производства.

Доказательство.

Пусть

Эта функция всюду положительна и убывает. С ее использованиеH/Bможет быть переписано в таком виде:

Пусть теперь у нашего производителя имеется возможность продавать свою продукциюдо начала производствана фьючерсном рынке по ценеp_t .Обозначим объем, производимый на таком рынке черезa_t. Тогда мы приходим к задаче определенияa иa_tтаких, что

Условия оптимальности первого порядка имеют вид:

Рассмотрим второе из этих уравнений и перепишем его:

Подставим полученный результат в первое из наших уравнений. Получим

(4.18)

откуда, в силу того, что E[u^’()]>0получим совершенно замечательный результатp_t = c^’(a).Он означает, что оптимальный объем производства НЕ зависит от распределения цен спот и полностью определяется текущей ценой фьючерсного рынка:a^* =c^’-1(p_t).

Из (4.18) получаем:

Последнее полученное нами уравнение и служит для определения оптимального значения a^*_t.

Рассмотрим следующие частные случаи.

Пусть E[p]>p_t- т.е. ожидаемая цена спот больше цены фьючерса. При этом должно бытьcov[u^’(),p]<0. Посколькуu^’() –убывающая функцияw_f, то ковариация будет отрицательной, если ростpуменьшаетu^’(), т.е. увеличиваетw_f. Последнее возможно, еслиa^* - a^* _t>0, т.е. a^*_t < a^*.

Роль фьючерсного рынка в данном случае сводится к отслеживанию хеджирования. При a^* = a^*_tриск равен нулю, однако уменьшениеa^*_tувеличивает риск, увеличивает и отдачу (ожидаемую прибыль) и при некотором значенииa^*_t, зависит от индивидуального отношения к риску ЛПР достигается равновесие.

ЕслиE[p]<p_t, т.е. ожидаемая цена спот меньше цены фьючерса,cov[u^’(),p]>0. Это возможно только в том случае, когда увеличениеp уменьшаетw_f, и тем самым увеличиваетu^’(). Это означает, чтоa^* - a^* _t<0, т.е.a^*_t > a^*. Иными словами, производитель продает на фьючерсном рынке больше, чем он сам производит в расчете на возможность докупить требуемое количество на рынке спот по меньшей цене. Снова приa^* = a^* _t риск равен нулю и при увеличенииa^* _tувеличиваются одновременно риск и отдача, достигаемая в данном случае за счет спекуляции (игра на понижение).