6. Нечёткие задачи оптимизации

В тех случаях, когда задача оптимизации (задача математического программирования) формируется на основе неполной, нечёткой или недостоверной информации, мы имеем нечёткую задачу оптимизации. Нечёткость может содержаться как в описании множества альтернатив (множества допустимых значений, системе ограничений), так и в целевой функции. Здесь возникают две взаимосвязанные проблемы:

1 - что понимать под решением такой задачи;

2 - как находить это решение (т.е. каков должен быть алгоритм).

Рассмотрим возможные ответы на эти вопросы. Начнём с варианта, предложенного двумя знаменитыми американскими исследователями, - Беллманом и Заде.

Во-первых, ясно, что поскольку задача поставлена нечётко, то и решение её может быть также нечётким. Т.е. из исходного множества альтернатив необходимо выделить его нечёткое подмножество, называемое подмножеством оптимальных альтернатив.

Во-вторых, отметим, что и допустимость каждой альтернативы не абсолютна (т.е. каждая альтернатива в общем случае допустима лишь в какой-то степени), и подмножество допустимых альтернатив есть также нечёткое подмножество.

Теперь мы в состоянии сформулировать идею Беллмана - Заде. Построим нечёткое подмножество цели. Степень принадлежности произвольной альтернативы этому подмножеству определяется исключительно достигаемым значением критерия оптимизации (а вот степень допустимости альтернативы не принимается во внимание). Заметим, что здесь требуется, чтобы цель была сформулирована нечётко.

Решение задачи по Беллману - Заде есть пересечение нечётких подмножеств цели и допустимых альтернатив, т.е.

_BZ(x) = min(_G, _C(x)),

где _BZ - функция принадлежности альтернативы х множеству решений задачи по Беллману - Заде;

_G(х) - функция принадлежности альтернативы х множеству цели;

_С(х) - функция принадлежности альтернативы х множеству допустимых альтернатив.

Подчёркнем особенность подхода - симметричность анализа допустимости и оптимальности, а также полную и строгую формализацию их соотношения.

Приведём простейший пример. Пусть ИМА={1,2,...,10}, а _G(х), _C1(х), _C2(х) - заданы табл.3.

Таблица 3.

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
G (х)	0	0.1	0.4	0.8	1.0	0.7	0.4	0.2	0	0
C1 (х)	0.3	0.6	0.9	1.0	0.8	0.7	0.5	0.3	0.2	0
C2 (х)	0.2	0.4	0.6	0.7	0.9	1.0	0.8	0.6	0.4	0.2

Тогда решение _B2() дается строкой (как продолжение):

_B2 0 0.1 0.4 0.7 0.8 0.4 0.2 0 0

Зададим словесно описание цели, ограничений

G - x должен быть близким к 5,

G₁ - x должен быть близким к 4,

G₂ - x должен быть близким к 6.

Решение, как и следовало ожидать, будет следующим

D - x должен быть близким к 5.

Если же необходимо указать в качестве решения на какую-то одну альтернативу, то обычно берут ту, которая доставляет максимум _B2.

Важнейший частный случай - когда критерий (ЦФ) в задаче оптимизации сформулирован чётко. Румынские специалисты К. Негойта и Д. Ралеску предложили такой способ сведения этой задачи к условиям применения подхода Беллмана - Заде:

,

где (х) критерий (чёткий);

sup _с() - т.н. носитель множества с функцией принадлежности _с(), т.е. совокупность таких z, что _с (z)>0.

Поиск наилучшей альтернативы сводится таким образом к следующей обычной (но возможно - нелинейной) задаче оптимизации:

 max,

(x) ,

_G(x),

xX,

(X- исходное множество альтернатив).

Рассмотрим теперь один из альтернативных подходов, изложенный А.И. Орловским. Он опирается на множество уровня () нечётного множества ограничений.

Решение Орловского А.И.

Обозначения: Х - универсальное множество альтернатив.

_с(х) функция принадлежности альтернативы х нечёткому

множеству допустимых альтернатив.

(х) - целевая функция задачи (чёткая).

С_ - множество уровня  нечёткого множества альтернатив:

С_ = {x xx, _C(x)}.

Для любого 0, такого, что С_ , введём множество

N() = {xxX, xС_, (x) = sup (x).

x^’С_

Это - множество решений обычной задачи максимизации функции  на множество тех альтернатив, которые со степенью не менее  считаются допустимыми (в исходной задаче).

Определение. Решением называется нечёткое подмножество нечёткого множества допустимых альтернатив с функцией принадлежности вида :

¹ (х) = sup ,

: xN().

Проанализируем это определение. Если альтернатива х⁰ - «плохая», т.е. не является оптимальной при любом разумном расширении исходного множества альтернатив, то не существует такого , что х⁰N(x). Поэтому ¹(х⁰)=0. Если же существует такое x⁰N(..), то ¹(x⁰)>0. Чему же равно в этом случае ¹(х⁰)? Оказывается, можно доказать, что при ¹(х⁰)>0, выполняется ¹(х⁰)=_С(х⁰).

Действительно:

Пусть например, ¹(х⁰)>_С(х⁰). Это означает, что >_С(х⁰), такое, что х⁰N(). Но отсюда следует, что х⁰, т.е. _с(х⁰)>_с(х⁰), что невозможно.

Пусть теперь ¹(х⁰)<_С(х⁰). Обозначим _С(х⁰)=. Т.е. хС_, но х⁰N() (в противном случае, что ¹(х⁰)==_С(х⁰). С другой стороны в силу того, что ¹(х⁰)>0, <, такое, что х⁰N(). Т.о. (х⁰) = sup (x).

C_

Но т.к. <, C_ C_ и поэтому sup (x)  sup (x).

C() C()

Но, х^N()  (x^)<sup (x) и

C()

x^N()  (x^)=sup (x).

C()

Окончательно приходим к противоречивому неравенству:

(х^)<sup (x)  sup (x) = (x^).

C() C()

Нечёткому решению 1 соответствует нечёткое “максимальное ” значение (х), представляющее собой образ нечёткого множества с функцией принадлежности ¹(х).

_(r) = sup ¹(x), где ^-1(r) = {x  xX, (r)=r},

x^{-1( r )}

«sup» предназначен для учета принадлежности альтернатив к нечёткому допустимому множеству (в противном случае _С(х)=0).

В отличие от _С(х), который является скалярной функцией векторного аргумента (точки х), _(r) есть скалярная функция скалярного аргумента. Можно показать, что на множестве sup _ функция _(r) монотонно убывает.

Доказательство.

Предположим противное. Пусть r₁ >r₂ и _(r₁)>_(r₂). Это означает, что х^^-1(r₁) и х^^-1(r₂), такие, что

¹(х^)>¹(x^).

Но, при rsupp _ ¹(x^)=_C(x) и ²(x^)=_C(x^), т.е.

_С(x^)>_C(x^)

и

(x^)>(x^).

Положим _С (х)=. Из _(r₂)  >0, x^N()

Тогда xС_, а поскольку (х^)>(x), х^N().

Если ЛПР хочет получить в качестве решения задачи конкретную альтернативу, то процесс решения разбивается на 2 этапа:

• Балансировка (r, _(r));

• Решение задачи max _c(x) на множестве {x (x)=r}.