Аожидаемая полезность лотереи запишется как (4.6) Детерминированный эквивалент является решением уравнения (4.7)

Определение.

ЛПР не склонен к риску, если предпочитает получить наверняка ожидаемый выигрыш в любой не вырождённой лотерее участию в этой лотерее:

. (4.8)

Теорема 4.3 [2.,c.149]. Принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности вогнута.

Доказательство.

Необходимость. Из (4.8) имеем: (для лотереи x₁-p, x₂-(1-p)). Тогда

u[px₁ + (1-p)x₂] > pu(x₁) + (1-p)u(x₂), для 0<p<1,

что есть определение строгой вогнутости

Достаточность. (Доказательство справедливо при конечном числе исходов).

Рассмотрим произвольную лотерею , дающуюx_i c вероятностью p_i, i=,где m - число исходов и где ни для одного i неверно, что p_i=1.

Тогда в силу строгой вогнутости u() имеем

,

что эквивалентно (4.8). (Условие х гарантируется выбором p_i).

Следствие. ЛПР, который предпочитает получение наверняка ожидаемого выигрыша любой лотереи 50-50 <х₁, х₂> участию в самой лотерее, не склонен к риску.

Определение. Две функции полезности u₁ и u₂ стратегически эквивалентны (u₁u₂) тогда и только тогда, когда они одинаково упорядочивают по предпочтительности любые две лотереи. Мы уже видели (когда формировали вывод о том, что полезность есть количественная характеристика и измеряется в шкале интервалов), что если u₁ = a+bu₂, то u₁u₂. Центральное значение в ТП имеет тот факт, что верно и обратное.

Теорема 4.4. [2.,с.145]. Если u₁u₂ то  a, b: u₁(х) = a + bu₂(x), x.

Доказательство

Пусть х[x^,x^*], причём х<x^*,, x^> (т.е. x^*- с вероятностью , x^- с вероятностью 1-). Эквивалентность установлена ЛПР. Отсюда:

u_i(x) = u_i (x^*) + (1-)u_i (x^), i = . (4.9)

Положим в этом равенстве i=2, и решим полученное уравнение относительно :

.

Подставив теперь полученное значение  в уравнение (4.9) при i=1:

и окончательно имеем

,

что и требовалось доказать.

Мы уже ответили на вопрос о целях построения ФП и её единственности (по аналогии с тем, как это было сделано нами для ФЦ). Теперь обсудим, какими же свойствами должно обладать отношение предпочтений ЛПР, чтобы ФП существовала. Совокупность этих условий обычно называется аксиомами теории полезности. Они по-разному формируются различными авторами. В любом случае речь идёт о положениях, которые не могут быть доказаны математически внутри ТП, но могут быть в ряде случаев (возможно - косвенно) проверены экспериментально. Сформулируем эти аксиомы, следуя классической работе Льюса и Райфы [4].

Аксиома 1 Отношение предпочтения ЛПР (нестрогого) на множестве альтернатив полно.

Аксиома 2 (о приведении составных лотерей). Любая составная лотерея равноценна простой лотерее, имеющей исходы х₁,х₂, ... ,х_n, вероятность которых вычисляется согласно обычным правилам теории вероятности:

если L⁽ⁱ⁾ = (px₁, px₂, ....., px_n), i = [1,s], то

(q₁L⁽¹⁾, q₂L⁽²⁾, ... , q_sL^(s))  (p₁x₁, p₂x₂, ... , p_nx_n), где

p_i= q₁p_i⁽¹⁾ + q₂p_i⁽²⁾ + ... + q_sp_i^(s).

Аксиома 3 (аксиома непрерывности). Всякий исход х_i равноценен лотерее [(1-_i)x₁, _ix_n] (т.е.  соответствующее значение _i).

Аксиома 4 (аксиома эквивалентности). В любой лотерее входящий в неё с положительной вероятностью исход x_i, можно заменить на эквивалентную ему лотерею [(1-_i)x₁, _ix_n].

Аксиома 5 (аксиома транзитивности). Отношение предпочтения на множестве альтернатив транзитивно.

Аксиома 6 (аксиома монотонности).

[px₁, (1-p)x_n] [p^’x_1, (1-p^’)x_n]  p  p^’ .

В этих предположениях справедлива следующая теорема 4.5.: Если отношение нестрогого предпочтения ЛПР удовлетворяет аксиомам 1-6, то  числа u_i для исходов x_i: для двух лотерей: L⁽¹⁾ L⁽²⁾, соотношение средних значений p_i⁽¹⁾u_i и p_i⁽²⁾u_i отражает предпочтительность лотерей.

Интересной модификацией рассмотренных нами соотношений является ситуация, в которой ЛПР обладает некоторым начальным уровнем (благосостояния) [11]. Обозначим его w₀. Введение этого параметра в анализ совершенно естественно: жизнь не начинается с нуля при принятии очередного решения и следует ожидать, что величина может повлиять на поведение ЛПР. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Напомним, что детерминированный эквивалент лотереи мы определили соотношением:

.

Теперь это соотношение примет у нас такой вид:

.

Заметим, что w^*=w₀+x - это величина (важно, что не оценка!) благосостояния ЛПР после реализации лотереи, т.е. следствие этой лотереи. Поэтому и w^* целесообразно представить в виде: w^*=w₀+p_a.

Что же такое p_a? Участие в лотерее для ЛПР эквивалентно получению w^* наверняка, w₀ у ЛПР уже есть (т.е. тоже наверняка!). Иначе говоря, возможность участия в лотерее увеличивает благосостояние ЛПР на p_a. Теперь ясно, что, если ЛПР будет предложено продать своё право на участие в лотерее, то минимальная цена, за которую ЛПР согласен это сделать, равна как раз p_a. Т.е. p_a - продажная цена лотереи (отсюда и обозначение p_a = asking price).

Рассмотрим теперь противоположную ситуацию. Пусть ЛПР предлагают не продать, а купить право на участие в лотерее. Какую максимальную цену он будет готов заплатить? У нас уже есть схема получения ответа на этот вопрос. Результат покупки лотереи (разумеется, случайный) для ЛПР имеет вид: w₀+x-p_b, (p_b - цена покупки = «bid price» лотереи).

Ожидаемая полезность этого результата должна быть как минимум не хуже (не меньше) полезности первоначального состояния w₀.

Получим:

.

Теперь поставим вопрос: как соотносится между собой р_a и р_b? Заметим, что при w₀=0 мы получим такие соотношения:

Как видно, даже в этом, казалось бы, простейшем случае не вполне ясно соотношение р_a и р_b, т.е. выполняется ли интуитивно привлекательное предположение о том, что р_a>р_b.

Ответ на поставленный вопрос требует введения ряда новых понятий, к которым мы и переходим. Сейчас же лишь отметим, что возможно р_a<0. Это означает, что ЛПР готов доплачивать за то, чтобы не участвовать в лотерее (по смыслу такое поведение ЛПР эквивалентно страхованию). Если р_b<0, то величина р_b есть компенсация ЛПР за принимаемый на себя риск.

Для решения вопроса о соотношении p_a и p_b нам понадобится еще одно понятие, впервые появившееся в знаменитых работах К.Эрроу и Дж.Пратта 64-65 годов. Повторим их рассуждения. Исходным пунктом возьмем уже знакомое нам уравнение для определения эквивалента и цены продажи:

.

Попробуем решить это уравнение относительно p_a в общем виде, но приближенно, заменив выражение в левой и правой частях их аппроксимациями - разложениями в ряд Тейлора.

, где

=E(x) - (эта величина предполагается известной).

Для аппроксимации подынтегрального выражения в правой части воспользуемся разложением в ряд Тейлора до второго порядка. Целесообразность такой несимметричной трактовки левой и правой частей определяется тем, что отдельные значения х будут заметно больше отклоняться от , чем p_a от . Имеем:

Подставим это выражение под интеграл в правой части. Учтем, что при этом:

Уравнение наше примет такой вид:

,

отсюда

Примем p_a- =  . Имеем следующее соотношение

. (4.10)

Выражение в квадратных скобках называется степенью абсолютной несклонности к риску (A_a). Отметим, что, если ЛПР нейтрален по отношению к риску (т.е. u - линейна), то A_a=0. A_a не меняется при произвольном линейном преобразовании функции полезности.

Теперь мы в состоянии доказать следующую теорему о соотношении p_a и p_b.

Теорема 4.6. [7].

1. Если абсолютная несклонность к риску есть убывающая функция своего аргумента, то либо 0<p_b<p_a, либо 0>p_b>p_a.

2. Если абсолютная несклонность к риску есть возрастающая функция, то либо 0<p_a<p_b, либо 0>p_a>p_b.

3. Если абсолютная несклонность к риску = const, то p_a=p_b.

Доказательство:

1). Докажем, если p_а>0  p_b>0. Из определений p_a и p_b имеем:

(4.11)

При этом, с учетом того, что p_a и p_b являются неявными функциями от начального уровня благосостояния и лотереи, мы можем записать

Если p_а>0, то из возрастания функции полезности по своему аргументу следует , а отсюда

.

Поскольку p_b зависит от распределения х и для всех х при вычислении математического ожидания в правой части принимает одно и то же значение, то последнее неравенство возможно только при p_b>0.

Лотерею в правой части уравнения (4.11) можно рассматривать как лотерею х для ЛПР с начальным уровнем благосостояния w₀ - p_b(w₀,x). Запишем для нее уравнение для определения цены продажи.

Отсюда .

Сопоставим и, в предположении, что. Как мы уже знаем, при этом, т.е.есть продажная цена лотереих при начальном уровне благосостояния меньшем, чем w₀. Если абсолютная несклонность к риску убывает, то

,

и таким образом

.

Другие части теоремы доказываются аналогично.

С концепцией компенсации за риск связано важнейшее, для рассматриваемой нами теории, понятие премии за риск. Формально определение таково. Премия за риск  есть:

 = E(x)-р_a, (4.12)

т.е. разница между математическим ожиданием исхода и процентной ценой лотереи.

Справедлива следующая теорема 4.7. о премии за риск.

Если функция полезности ЛПР монотонно возрастает и выпукла вверх (вниз), то премия за риск даже этого ЛПР в любой лотерее положительна (отрицательна).

Доказательство этой теоремы основывается на т.н. лемме Енсена, которую мы приведём здесь без доказательства (далее E[] - символ оператора математического ожидания):

Если y есть случайная переменная и f(y)- строго выпуклая вверх функция, то

Е[f(y)]<f(E[y]).

Если же f(y) выпукла вниз, знак неравенства меняется на противоположный, т.е. Е[f(y)]>f[E(y)].

Итак, пусть функция полезности ЛПР u() монотонно возрастает и выпукла вверх. Тогда из неравенства Енсена получим:

[u(w₀+x)]<u(E[w₀+x]) = u(w₀+E[x]).

Но для детерминированного эквивалента w^*

u(w^*)=E[u(w₀+x)], отсюда u(w*)<u(w₀+E[x]).

Поскольку u() монотонно возрастает, последнее возможно только при условии, что

w^*<w₀+E[x],т.е. w^*-w⁰<E[x].

w^*=w⁰+p_a,

p_a<E[x],т.е. >0.

Изучим теперь вопрос о том, чем определяется вид (или тип) функции полезности. Изложение будем вести на примере двухфакторных функций полезности. Обобщение на случай большого числа факторов очевидно.

Пусть 2 фактора y⁰  y  y^* и z⁰  z  z^*. Найдём для лотереи 50-50 вида (y₁,z⁰),(y₂,z⁰) детерминированный эквивалент вида (,z⁰). Если при этом не зависит отz⁰ (а зависит только от y₁ и y₂), то говорят, что у не зависит по полезности от z.

Иначе говоря, условные функции полезности u(,z⁰) и u(,z) стратегически эквивалентны. Из доказанной нами теоремы следует, что

u(y, z) = g(z) + h(z)u(y,z⁰). (4.13)

Это соотношение является ключевым для доказательства следующего положения о виде ФП:

Теорема 4.8. [2., c.225]. Если Y и Z взаимонезависимы по полезности, то ФП от двух аргументов Y и Z является полилинейной, т.е. может быть представлена в виде:

u(y, z) = u(y,z⁰) + ku(y,z⁰)u(y⁰,z)

или

u(y, z) = k_yu_y(y) + k_zu_z(z) + k_yzu_y(y)u₂(z), где

1) u(y⁰,z⁰)=0, u(y^*, z^*) =1.

2) u_y(y⁰)=0, u_y(y^*)=1.

u_z (z⁰)=0, u_z(z*)=1.

3) k_y=u(y^*; z⁰); k_z=u(y⁰; z^*); k_y+k_z+k_yz=1.

Доказательство.

Из (4.13) при y=y⁰ получим: u(y⁰,z)=g(z)+h(z) u(y⁰,z⁰) т.е. u(y⁰,z)=g(z).

Поскольку g(z) и h(z) параметрически зависят от z⁰ и НЕ зависят от Y, то полученное выражение для g(z) можно использовать для вычисления u(y¹,z), где y¹y⁰:

u(y¹,z)= u(y⁰,z)+h(z)u(y¹,z⁰).