4.2 Функция полезности

Сразу обозначим область нашего дальнейшего анализа: это задача принятия решения (ЗПР) в условиях риска (в отличие от ФЦ, которая является ЗПР в условиях определенности). Более конкретно, мы переходим к рассмотрению следующей ЗПР:

Имеется совокупность альтернатив (действий) – а^’, a^”, ... и совокупность исходов: x₁, .... x_n, причём исходы перенумерованы так, что x₁ x₂x₃ ... x_n, где  - символ бинарного отношения «хуже».

Если бы каждое действие приводило ко вполне определенному последствию (исходу), то проблема выбора наилучшего действия при наличии данной ранжировки исходов не стояла бы. Однако в наших условиях каждому действию а соответствует лишь определённое распределение вероятностей на множество исходов. Какое действие выбрать? Так называемая «классическая теория полезности», разработанная фон Нейманом и Моргенштерном, предлагает следующий путь:

Допустим, i ЛПР оценивает как эквивалентные 2 такие альтернативные возможности:

1.Получить x_i наверняка (т.е. с вероятностью 1).

2.Получить x_n (лучший исход) с вероятностью _i и x_i (худший) с вероятностью 1-_i,

т.е. мы каким то образом, на основе анализа систем предпочтений ЛПР подобрали такие значения _i. Если ЛПР действует разумно и последовательно (говорят, что его поведение является согласованным), то, очевидно _n=1, ₁=0 и, кроме того,

₁  ₂  _n

Таким образом, каждому исходу x_i поставлена в соответствие некоторая числовая оценка _i, называемая его полезностью.

Сравним теперь 2 альтернативы (действия) a и а, порождающие вероятности p_i и p_i соответственно на множестве исходов {x_i}. Подсчитаем величины:

и ,

которые естественно называть оценками ожидаемой полезности в случае выбора каждой из альтернатив. ТП утверждает, что следует выбрать ту альтернативу, у которой ожидаемая полезность - больше. Обоснование таково. Действия а^’ эквивалентны представлению ЛПР шансов зах_n и шансов заx₁. Аналогично для а^.

Заметим также, что если преобразовать _i в u_i при помощи положительного линейного преобразования

u_i = a + b_i, b>0,

то

,

т.е. оценка u_i будет точно так же упорядочивать альтернативы по ожидаемой полезности. Если же сделать произвольное монотонное преобразование, то упорядочение нарушится, стало быть, полезность, в отличие от ценности, - есть качественный показатель и измеряется в шкале интервалов.

Теперь мы в состоянии дать определение ФП: это такая функция u(x), что u(x)=полезность x, x.

Важнейшими в теории полезности являются понятия монотонности, лотереи, детерминированного эквивалента.

Одномерная ФП называется монотонно возрастающая, если x₁>x₂  u(x₁) u(x₂).

Под лотереей в теории полезности понимается ситуация, в которой исход x₁ возможен с вероятностью p₁, x₂ - p₂ и т.д.

Детерминированным эквивалентом лотереи называется величина такая, что ЛПР безразлично в выборе между участием в лотерее и получениемнаверняка. Заметим, что лотереи с двумя исходами уже были предметом нашего анализа.

Ожидаемый выигрыш в лотерее: . (4.3)

Ожидаемая полезность лотереи: . (4.4)

Если возможность выигрыша лотереи описывается плотностью распределенияf, то ожидаемый выигрыш в лотерее равен: (4.5)