4. Функции ценности, полезности и выбора

4.1Функции ценности

Функция ценности (ФЦ) относится к уже упомянутому нами классу математических моделей теории выбора - классу так называемых индикаторов предпочтений. Дадим формальное определение. Пусть  - множество векторов в n - мерном пространстве и на  задано бинарное отношение, отражающее систему предпочтений некоторого эксперта (ЛПР). Тогда скалярная функция V(x) есть ФЦ, соответствующее этому бинарному отношению, если

V(x₁)  V(x₂)  x₁R x₂ .

С такого ряда конструкцией мы встречались уже ранее - при изучении методов моделирования платёжеспособного спроса. Рассматривая теперь применение этого инструментария в ТПР, попробуем ответить на такие вопросы:

1. - что даёт наличие ФЦ (с точки зрения упрощения ЗПР, её автоматизации и т.д.);

2. - каким свойством должно обладать отношение предпочтения эксперта (ЛПР), чтобы ФЦ существовала;

3. - является ли функция ценности единственной;

4. - чем определяется вид ФЦ;

5. - как построить ФЦ.

1. Наличие ФЦ позволяет свести задачу выбора наилучшей альтернативы к хорошо структурированной математической задачи максимизации ФЦ. Во многих реальных задачах мы можем рассчитывать на то, что зависимость ФЦ от исходного множества альтернатив  есть, но не слишком существенна и потому, построив один раз ФЦ, можно будет применять её многократно, при повторных возникновениях данной ЗПР.

ФЦ есть способ запомнить, зафиксировать систему предпочтений ЛПР, что открывает пути к автоматизации выработки решения, тиражированию опыта наиболее квалифицированных специалистов и т.д.

2. Отношение предпочтения эксперта моделируется в случае использования ФЦ отношения () на множестве действительных чисел. Поскольку () - нестрогий порядок (причём полный - любые два числа сравниваем по этому отношению), то и «прототип», который им моделируется - отношение R должно быть полным нестрогим порядком, т.е. обладать свойством рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Возникает вопрос, достаточно ли этих свойств, чтобы бинарное отношение можно было выразить на языке функций ценности. К сожалению, ответ на поставленный вопрос в общей форме будет отрицательным. Этих свойств недостаточно. Формулируемые ниже теоремы о существовании ФЦ привлекают некоторые дополнительные условия.

Теорема 4.1. Если бинарное отношение R есть полный порядок, а множество  - конечно, то ему может быть поставлена в соответствие функция ценности V(x) со строгой шкалой (т.е. различным значениям х соответствуют разные значения V(x)).

Доказательство.

1. В силу полноты R имеем xRy или yRx или xRy  yRx. Последнее, в силу антисимметричности R, влечёт xy, то окончательно заключаем, что x,y

(xRy)(yRx)  xy.

2. Обратимся к представлению бинарного отношению R его срезами. Определим верхние срезы R в точках x и y:

^u_R (x) и ^u_R (y)

Предположим, что xRy, причем xy. Как в этом случае связаны ^u_R(x) и

^u_R(y)? Ясно, что x^u_R(y). Далее, если существует некоторый z таков, что zRx, то в силу транзитивности R: zRy, т.е. z^u_R(y). Последнее означает, что ^u_R(x)^u_R(y). Итак, xRy  ^u_R(x)^u_R(y). Более того, верно и обратное утверждение: ^u_R(x)^u_R(y)  xRy. В самом деле, если это не так и yRx, то для z^u_R(y)/^u_R(x) будет иметь zRy, но  zRx, что вступает в противоречие с транзитивностью R. Таким образом, мы установили, что при xy имеет место

x R y  ^u_R(x)^u_R(y).

В силу полной симметрии выкладок и рассуждений

y R x ^u_R(y)^u_R(x), (при xy).

И, наконец, очевидно, что

x=y  ^u_R(x)=^u_R(y).

3. Построим функцию V(x) по правилу:

V(x) = -^u_R(x),

где  - число элементов множества .

Тогда, если ^u_R(x)^u_R(y), то V(x)>V(y) т.е. при xy

xRy ^u_R(x)^u_R(y)  V(x)>V(y) при x=y V(x) = V(y).

И, возвращаясь к п.1 наших рассуждений,

либо V(x)>V(y) либо V(y)>V(x), либо V(x)=V(y) при xy.

Получили требуемое.

Подчеркнем, что центральную роль в доказательстве играет возможность подсчёта конечного числа элементов в  и ^u_R(). Что же делать, если всё это не так, т.е.  - непрерывное множество (скажем - область в многомерном евклидовом пространстве, как это часто бывает в приложениях)? Оказывается, что ФЦ при этом может существовать при других дополнительных требованиях к свойствам R. В специальной литературе приводится доказательство большего числа теорем о существовании ФЦ, научный поиск идёт по пути сокращения требований к R, при которых гарантируется существование V(). Приведем пример такого утверждения. Для этого нам потребуются ещё некоторые понятия и определения.

Порядок R называется непрерывным, если ^u_R(x) и ^u_R(y) есть замкнутые множества х,у. (Напомним, что замкнутые - это такие множества, которые содержат все свои предельные точки, а предельные точки, в свою очередь, характеризуются тем, что в сколь угодно малой окрестности их содержатся точки, принадлежащие тому же множеству). В содержательных терминах непрерывность отношения R означает, что если xRy и x^ и y^ весьма близки к x и y соответственно, то x^Ry^. (Или, ещё более наглядно, не имеет место ситуация, когда xRy , но, для сколь угодно близких к нам x^ и y^:  x^Ry^).

Теорема 4.2. Пусть  - подмножество и n-мерного векторного пространства, R - полный порядок и обладает, кроме того, свойством непрерывности. Тогда функция ценности существует. Утверждение впервые доказано одним из классиков ТПР и носит название теоремы Дебре.

3. Перейдем теперь к вопросу о единственности ФЦ. Ответ на него, очевидно, отрицательный. В самом деле, если V() - функция ценности, а () - монотонно возрастает, то f(V()) есть также ФЦ. Это значит, что ценность измеряется в порядковой шкале. Хорошо это или плохо? Интересно, на наш взгляд, следующее наблюдение Д.Б. Юдина: поскольку алгоритмы поиска экстремума, как правило, связывают прекращение своей работы с условием получения «весьма малых» приращений функции на очередных итерациях, то в случае с ФЦ такой критерий становится малосодержательным - ведь подбором соответствующей функцией () можно сделать эти приращения сколь угодно большими.

Итак, ФЦ, соответствующих одному и тому же R, бесконечно много. Есть ли в этом множестве какие-то инварианты? Да. Рассмотрим бинарное отношение R на подмножестве двумерного векторного пространства ={(x,y)}. Введём предельный коэффициент замещения в точке (x₁,y₁) так:

, (4.1)

где V(,) и V(,) - первая частная производная по обоим аргументам ФЦ. Формула происходит из соотношения

,

и вполне аналогична хорошо известной формуле предельной нормы замены для производственной функции. Новый элемент здесь - многозначность ФЦ. Пусть f() - монотонная и V₂() = f (V()). Тогда

т.е. предельный коэффицент замещения - заметно более «объективный» показатель, чем ФЦ. Как его оценить? Путём эксперимента, диалога с ЛПР. Вопросы должны быть такого типа: «Если у увеличить на  единиц то насколько нужно уменьшить х, чтобы компенсировать данное увеличение по y?»

4.Здесь 2 группы проблем:

- при каких условиях ФЦ будет, например, выпуклой, линейной и т.д.

- при каких условиях ФЦ будет аддитивной, т.е.:

V(X,Y) = V_X(x) + V_Y(y)

V(X,Y,Z) = V_X(x) + V_Y(y) + V_Z(z) и т.д.

Вторая группа особенно важна, поскольку предопределяет организацию взаимодействия с экспертом при построении ФЦ. Рассмотрим её.

Напомним, что понятие независимости по предпочтению мы уже упоминали. Теперь оно нам существенно понадобится. Пусть Eⁿ, т.е. сопоставляются вектора (x₁,,x₅). Множество координат каждого вектора можно разбить на 2 подмножества так, что (с учётом перенумерации)

x=(y, z),

y, z - подмножества, например y = x₁,x₂,x₃, z = x₄,x₅.

Формальное определение. Множество критериев Y независимо по предпочтению от дополняющего его множества Z тогда и только тогда, когда y^,y,z: (y^,z)R(y,z)  z: (y^,z)R(y,z).

Ещё одно определение. Критерии взаимозависимы по предпочтению, если каждое подмножество этого множества критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения.

Имеет место теорема 4.3. Для N критериев аддитивная функция ценности существует тогда и только тогда, когда критерии взаимозависимы по предпочтению. Число условий, надлежащих проверке в этой теореме, комбинаторно и потому астрономически велико. К счастью, доказана вспомогательная теорема 4.4.: Если каждая пара критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения, то критерии взаимонезавимсимы по предпочтению. Это позволяет существенно сократить количество проверок.

Теорема 4.5.[2, с.116].

Пусть Y и Z - непересекающиеся подмножества критериев S = {X₁,X_n}, но ни одно из них не содержится в другом, а их объединение YZ не совпадает с S. Если каждое из подмножеств Y и Z не зависит от своего дополнения, то любое из следующих множеств критериев:

1. Y  Z

2. Y Z

3. Y - Z и Z - Y

4. (Y-Z)  (Z-Y) независимо по предпочтению от своего дополнения.

Формальное доказательство имеется в работе Гормана (1968а). Особую важность для приложений имеют части теоремы 1 и 4, поскольку позволяют сократить число условий независимости по предпочтению, проверка которых необходима для введения аддитивной функции ценности в соответствии с теоремой 4.5 до n-1, где n - число критериев.

Тем не менее, из представленной теоремы следует, что существует большое количество комбинаций независимых по предпочтению подмножеств критериев из множества {x₁,x_n}, где простейшим множеством является комбинация, в которой {x_i, x_i+1} не зависит по предпочтению от своих дополнений при i=1,,n-1. А, следовательно, использование такой процедуры ведет к довольно большому числу проверок условий независимости по предпочтению.

Однако при наличии некоторых соображений о наиболее подходящих для получения результатов условий, для облегчения построения многомерной функции ценности на практике следует воспользоваться следующим подходом, предложенным Тингом (1971). Суть решения заключается в выделении естественных групп критериев и установлении независимости по предпочтению между этими группами. При ее наличии, возможно построение аддитивной функции ценности на основных группах. Затем, воспользовавшись понятием независимости по предпочтению, следует уточнить структуру предпочтений ЛПР внутри этих групп.

В тех случаях, когда  - есть параллелепипед в n-мерном пространстве (а это очень важный частный случай) т.е.

,

а R таково, что ФЦ - аддитивна, её можно искать в виде:

V(x₁, x₂, ....., x_i) = _i V_i(x_i), (4.2)

x_i = 1, x_i >0 i,

где V_i() таковы, что ,V()[0,1], а _i при этом называются шкалирующими коэффициентами. Выгоды такого представления очевидны. Что же всё-таки делать, если взаимозависимость по предпочтению не имеет места? Справедлива следующая теорема 4.6.

Пусть даны критерии {x₁,x₂,x₃,x₄}. Если {x₁,x₂} и {x₂,x₃} не зависят по предпочтению от своих дополнений, то  ФЦ вида

V() = f(y₁, x₄),

где y = V₁(x₁) + V₂(x₂) + V₃(x₃) и функция f() возрастает по своей первой переменной. V - называется при этом частично аддитивной ФЦ.

5. Построение ФЦ осуществляется поэтапно. Последовательность процедур представлена на рис.13