Этап 4. Нахождение значений шкалирующих констант и построение двухфакторной функции полезности.

Поскольку мы имеем случай взаимной независимости по полезности, то функция будет имеет вид:

U(X, Y, Z)=k_XU_X(X)+k_YU_Y(Y)+k_ZU_Z(Z)+kk_Xk_YU_X(X)U_Y(Y)+ +kk_Xk_ZU_X(X)U_Z(Z)+kk_Yk_ZU_Y(Y)U_Z(Z)+k²k_Xk_Yk_ZU_X(X)U_Y(Y)U_Z(Z).

при этом полезность уменьшается при росте аргумента, т. е.:

U(X_max,Y_max,Z_max)=0,U(X_min,Y_min,Z_min)=1,

U(Y_min,Z_max)>U(Y_max,Z_max),U(Y_max,Z_min)>U(Y_max,Z_max),U(X_min,Z_max)>U(X_max,Z_max),U(X_max,Z_min)>U(X_max,Z_max),U(Y_min,X_max)>U(Y_max,X_max),U(Y_max,X_min)>U(Y_max,X_max),

тогда для согласованности констант должно выполняться равенство k+1=(kk_x+1)(kk_y+1)(kk_z+1) k_x = U(X_min, Y_max, Z_max), k_y = U(X_max, Y_min, Z_max), k_z = U(X_max, Y_max, Z_min)

Рассмотрим лотерею вида <(100, 100, 30), (1000, 0, 30), (1000, 100, 1)>

Можно отметить, что в данном случае второй исход предпочтительней первого и третьего, а первый предпочтительней третьего, следовательно, исходы не эквивалентны.

Таким образом, U(X_max,Y_min,Z_max)>U(X_min, Y_max, Z_max) > U(X_max, Y_max, Z_min), т.е. k_y>k_x> k_z.

Поскольку U(X_max, Y_max, Z_max)<U(X_max, Y_max, Z_min), то можно найти такое, что

U(Х_max, ,Z_max) =U(Х_max, Y_max,Z_min). Следовательно:k_YU() =k_z.

Чтобы определить значение эксперту был задан вопрос: при какой величине брака исходы, при которых затраты=1000, %брака=100, срок поставки=1 день и затраты=1000, %брака=, срок поставки=30 будут эквивалентны. Эксперт ответил при величине брака 30%.

Поскольку U(X_max,Y_max,Z_max)<U(X_min,Y_max,Z_max), то можно найти такое, что

U(Х_max, ,Z_max) =U(Х_min,Y_max,Z_max). Следовательно:k_YU() =k_x.

Чтобы определить значение эксперту был задан вопрос: при какой величине брака исходы, при которых затраты=1000, %брака=100, срок поставки=30 дней и затраты=100, %брака=, срок поставки=30 дней будут эквивалентны. Эксперт ответил при величине брака 45%.

Поскольку (kk_x+1)(kk_y+1)(kk_z+1)-k=1,k_YU() =k_z ,k_YU() =k_x, то для вычисления шкалирующей константыkнам потребуется ещё одно уравнение. Прибегая с этой целью к сравнению лотерей, определим такое значение вероятностиp_y, при котором исход (X_min,Y_max,Z_max) будет равноценен лотерее <(X_max, Y_max, Z_max),p_y,(X_min,Y_min,Z_min)>.

Для определения величины p_y эксперту был задан вопрос: с какой вероятностью вышеуказанная лотерея должна принимать наилучшее значение, чтобы данная лотерея была равноценна гарантированному исходу. Эксперт ответил: с вероятностью 70%.

Используя мультипликативную функцию полезности для трех факторов и приравнивая ожидаемые полезности, находим k_y = p_y .

Величины U() иU() можно вычислить непосредственно по найденной на предыдущем этапе формуле для условной функции полезности, используя программу eufNEW.EXE.

Определив, что =30 а = 45, получаемU() = 0.7410329783 аU()=0.5993342422 , тогда приk_y=0,7 получимk_x=0,518723,k_z=0,419534.

Отсюда находим значение шкалирующей константы k,используя формулу:

k+1=(kk_x+1)(kk_y+1)(kk_z+1), получили чтоk= - 0,85827

Тем самым шкалирующие константы определены.

Этап 5. Проверка согласованности построенной функции полезности с системой предпочтений лпр

Представим ЛПР следующие данные к рассмотрению. Эксперт должен сравнить предложенные исходы по предпочтительности.

Результаты оценки ЛПР следующие:

	Y	Z	X		Y	Z	X		Y	Z	X		Y	Z	X
I	10	1	500	>	64	2	300	III	15	25	440	<	80	1	110
	40	5	300	>	15	10	900		58	15	230	>	10	28	990
	35	15	750	<	5	29	950		64	2	320	>	32	12	550
	80	1	120	>	13	25	600		58	15	560	<	2	27	440
	10	28	350	>	60	15	500		90	16	650	<	10	17	230
II	32	12	660	<	48	2	350	IV	33	2	150	>	30	2	320
	2	27	980	<	25	15	150		30	8	120	>	25	11	560
	10	2	110	>	10	1	350		15	25	150	>	2	3	990
	30	10	990	<	40	5	660		17	23	240	<	8	5	660
	25	29	550	>	35	15	980		18	12	380	<	16	8	330

Произведем оценку на основе функции полезности:

	U(X, Y, Z)		U(X, Y, Z)		U(X, Y, Z)		U(X, Y, Z)
I	0,904883	>	0,779008	III	0,776343	<	0,805569
	0,833994	>	0,763297		0,731583	>	0,656172
	0,666634	<	0,686708		0,772652	>	0,751325
	0,801664	>	0,744212		0,611496	<	0,821714
	0,80793	>	0,622697		0,399676	<	0,885824
II	0,724239	<	0,815284	IV	0,910688	>	0,876884
	0,708881	<	0,870244		0,897045	>	0,783261
	0,973464	>	0,931105		0,86051	>	0,848817
	0,677701	<	0,743714		0,834385	<	0,862418
	0,677759	>	0,612921		0,845474	<	0,883711

Таким образом, предпочтения между лотереями, предложенными ЛПР для анализа, совпадают с предпочтения между построенными для них функциями полезности, это свидетельствует (но к сожалению не является формальным доказательством) об адекватности функции полезности. Следовательно, данную функцию полезности можно использовать для оценки альтернатив принятия решений по выбору того или иного способа доставки продукции.

Рассчитаем полезность для четырех альтернатив:

авиа
Y	P(Y)	Z	P(Z)	X	P(X)	P(Y,Z,X)	U(Y,Z,X)	U(Y,Z,X)*P(Y,Z,X)
6	0,3	1	0,9	800	0,4	0,108	0,871754148	0,094149448
15	0,5	1	0,9	800	0,4	0,18	0,840413175	0,151274372
28	0,2	1	0,9	800	0,4	0,072	0,793089692	0,057102458
6	0,3	1	0,9	900	0,6	0,162	0,858243861	0,139035505
15	0,5	1	0,9	900	0,6	0,27	0,825459639	0,222874102
28	0,2	1	0,9	900	0,6	0,108	0,775956913	0,083803347
6	0,3	2	0,1	800	0,4	0,012	0,865674281	0,010388091
15	0,5	2	0,1	800	0,4	0,02	0,833683821	0,016673676
28	0,2	2	0,1	800	0,4	0,008	0,78537964	0,006283037
6	0,3	2	0,1	900	0,6	0,018	0,851884017	0,015333912
15	0,5	2	0,1	900	0,6	0,03	0,818420398	0,024552612
28	0,2	2	0,1	900	0,6	0,012	0,767891814	0,009214702
						∑U(Y,Z,Х)*P(Y,Z,Х)		0,830685263
авто
Y	P(Y)	Z	P(Z)	X	P(X)	P(Y,Z,X)	U(Y,Z,X)	U(Y,Z,X)*P(Y,Z,X)
12	0,2	2	0,6	170	0,55	0,066	0,95649299	0,063128537
25	0,6	2	0,6	170	0,55	0,198	0,925440321	0,183237183
44	0,2	2	0,6	170	0,55	0,066	0,877028944	0,05788391
12	0,2	2	0,6	200	0,45	0,054	0,950324719	0,051317535
25	0,6	2	0,6	200	0,45	0,162	0,918354023	0,148773352
44	0,2	2	0,6	200	0,45	0,054	0,868511436	0,046899618
12	0,2	4	0,4	170	0,55	0,044	0,948081208	0,041715573
25	0,6	4	0,4	170	0,55	0,132	0,915776609	0,120882512
44	0,2	4	0,4	170	0,55	0,044	0,865413465	0,038078192
12	0,2	4	0,4	200	0,45	0,036	0,941664255	0,033899913
25	0,6	4	0,4	200	0,45	0,108	0,908404619	0,098107699
44	0,2	4	0,4	200	0,45	0,036	0,856552563	0,030835892
						∑U(Y,Z,Х)*P(Y,Z,Х)		0,914759918
ж/д
Y	P(Y)	Z	P(Z)	X	P(X)	P(Y,Z,X)	U(Y,Z,X)	U(Y,Z,X)*P(Y,Z,X)
10	0,2	3	0,6	450	0,3	0,036	0,902998628	0,032507951
23	0,7	3	0,6	450	0,3	0,126	0,863418112	0,108790682
41	0,1	3	0,6	450	0,3	0,018	0,805078498	0,014491413
10	0,2	3	0,6	600	0,7	0,084	0,877018773	0,073669577
23	0,7	3	0,6	600	0,7	0,294	0,833515546	0,245053571
41	0,1	3	0,6	600	0,7	0,042	0,76939406	0,032314551
10	0,2	8	0,4	450	0,3	0,024	0,877406585	0,021057758
23	0,7	8	0,4	450	0,3	0,084	0,833961913	0,070052801
41	0,1	8	0,4	450	0,3	0,012	0,769926735	0,009239121
10	0,2	8	0,4	600	0,7	0,056	0,848890376	0,047537861
23	0,7	8	0,4	600	0,7	0,196	0,801140028	0,157023445
41	0,1	8	0,4	600	0,7	0,028	0,730758507	0,020461238
						∑U(Y,Z,Х)*P(Y,Z,Х)		0,832199968
водный
Y	P(Y)	Z	P(Z)	X	P(X)	P(Y,Z,X)	U(Y,Z,X)	U(Y,Z,X)*P(Y,Z,X)
10	0,2	13	0,7	310	0,55	0,077	0,883508016	0,068030117
18	0,7	13	0,7	310	0,55	0,2695	0,857603722	0,231124203
28	0,1	13	0,7	310	0,55	0,0385	0,824027473	0,031725058
10	0,2	13	0,7	510	0,45	0,063	0,839740834	0,052903673
18	0,7	13	0,7	510	0,45	0,2205	0,809810835	0,178563289
28	0,1	13	0,7	510	0,45	0,0315	0,771016609	0,024287023
10	0,2	20	0,3	310	0,55	0,033	0,852886686	0,028145261
18	0,7	20	0,3	310	0,55	0,1155	0,824165842	0,095191155
28	0,1	20	0,3	310	0,55	0,0165	0,78693888	0,012984492
10	0,2	20	0,3	510	0,45	0,027	0,80436074	0,02171774
18	0,7	20	0,3	510	0,45	0,0945	0,771176481	0,072876177
28	0,1	20	0,3	510	0,45	0,0135	0,728164195	0,009830217
						∑U(Y,Z,Х)*P(Y,Z,Х)		0,827378404

Сведем полученные значения в таблицу:

Вид транспорта	Нормативно			Суммарная полезность ∑U(Y,Z,Х)P(Y,Z,Х)	Оценка
	Брак механический, %	Время поставки, дн.	Затраты на транспортировку, у.ед.
авиа	10	1	860	0,830685263	3
авто	30	3	192	0,914759918	1
ж/д	25	5	560	0,832199968	2
водный	15	15	330	0,827378404	4

Таким образом, ЛПР с помощью суммарной функции полезности выбрал оптимальную альтернативу — перевозить груз с помощью автотранспорта.