- •Государственный университет управления
- •Этап 1. Постановка задачи принятия решения.
- •Этап 2. Проверка допущений о независимости.
- •Этап 3. Построение условных функций полезности.
- •Этап 4. Нахождение значений шкалирующих констант и построение двухфакторной функции полезности.
- •Этап 5. Проверка согласованности построенной функции полезности с системой предпочтений лпр
- •Выводы по проекту.
- •Список литературы.
Этап 2. Проверка допущений о независимости.
Для построения функции полезности необходимым является условие независимости факторов. Существуют различные виды независимости факторов: аддитивная, мультипликативная, полилинейная и т. д. В зависимости от вида независимости будем иметь различные формулы для нахождения функции полезности. Поэтому начнем с определения типа независимости факторов друг от друга. Самым слабым из условий независимости является односторонняя независимость по полезности, самым сильным - аддитивная независимость.
Выведем тип независимости факторов Y, Z и X.
В нашем примере имеем следующие факторы и интервалы их изменения:
Y - % брака, Y имеет пределы (0, 100),
Z – срок поставки в днях, Z принадлежит интервалу (1, 30),
X– затраты на транспортировку, изменяются от 100 до 1000 у.ед.
Для выявления независимости неоднократно проводится следующий эксперимент.
ЛПР предъявляется лотерея с равновероятными исходами <(Ymin, Z), (Ymax, Z)> при Х=const, <(Zmin,Y), (Zmax,Y)> при Х=const<(Хmin, Z), (Хmax, Z)> приY=const, <(Zmin,X), (Zmax,X)> приY=const, <(Ymin,X), (Ymax,X)> приZ=const, <(Xmin,Y), (Xmax,Y)> приZ=constи находится ее детерминированный эквивалент вида (Y, Z,X).
Лотерея вида <(0, Z), (100, Z)>, X- фиксированный
Лотерея вида <(Y, 1), (Y, 30)>, X- фиксированный
Лотерея вида <(100, Z), (1000,Z)>,Y - фиксированный
Лотерея вида <(X, 1), (X, 30)>,Y- фиксированный
Лотерея вида <(0, X), (100,X)>,Z- фиксированный
Лотерея вида <(Y, 100), (Y, 1000)>,Z- фиксированный
Рациональным приемом отыскания величины Y~является метод "вилки". Протокол эксперимента ведется в следующей форме:
Лотерея вида <(0, Z), (100, Z)>, X- фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Z1=2; X=const) |
|
Значение постоянного фактора (Z2=5; X=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
90 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
90 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
10 |
детерминированный исход |
|
2 |
10 |
детерминированный исход |
|
3 |
80 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
80 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
5 |
70 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
70 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
30 |
детерминированный исход |
|
6 |
30 |
детерминированный исход |
|
7 |
60 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
60 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
40 |
детерминированный исход |
|
8 |
40 |
детерминированный исход |
|
9 |
50 |
детерминированный исход |
|
9 |
50 |
детерминированный исход |
|
10 |
55 |
все равно |
|
10 |
55 |
все равно |
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 5 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Z3=18; X=const) |
|
Значение постоянного фактора (Z4=25; X=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
90 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
90 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
10 |
детерминированный исход |
|
2 |
10 |
детерминированный исход |
|
3 |
80 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
80 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
5 |
70 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
70 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
30 |
детерминированный исход |
|
6 |
30 |
детерминированный исход |
|
7 |
60 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
60 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
40 |
детерминированный исход |
|
8 |
40 |
детерминированный исход |
|
9 |
50 |
детерминированный исход |
|
9 |
50 |
детерминированный исход |
|
10 |
55 |
все равно |
|
10 |
55 |
все равно |
Лотерея вида <(Y, 1), (Y, 30)>, X- фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Y1=20; X=const) |
|
Значение постоянного фактора (Y2=45; X=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
25 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
25 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
5 |
детерминированный исход |
|
2 |
5 |
детерминированный исход |
|
3 |
20 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
20 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
10 |
детерминированный исход |
|
4 |
10 |
детерминированный исход |
|
5 |
18 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
18 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
15 |
все равно |
|
6 |
15 |
все равно |
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 4 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Y3=60; X=const) |
|
Значение постоянного фактора (Y4=90; X=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
25 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
25 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
5 |
детерминированный исход |
|
2 |
5 |
детерминированный исход |
|
3 |
20 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
20 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
10 |
детерминированный исход |
|
4 |
10 |
детерминированный исход |
|
5 |
18 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
18 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
15 |
все равно |
|
6 |
15 |
все равно |
Таким образом, Y и Z взаимно независимы по полезности при фиксированном значении Х.
Лотерея вида <(100, Z), (1000,Z)>,Y - фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Z1=2; Y=const) |
|
Значение постоянного фактора (Z2=5; Y=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
950 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
950 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
150 |
детерминированный исход |
|
2 |
150 |
детерминированный исход |
|
3 |
850 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
850 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
250 |
детерминированный исход |
|
4 |
250 |
детерминированный исход |
|
5 |
750 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
750 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
350 |
детерминированный исход |
|
6 |
350 |
детерминированный исход |
|
7 |
650 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
650 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
450 |
детерминированный исход |
|
8 |
450 |
детерминированный исход |
|
9 |
550 |
детерминированный исход |
|
9 |
550 |
детерминированный исход |
|
10 |
500 |
все равно |
|
10 |
500 |
все равно |
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 5 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Z3=18; Y=const) |
|
Значение постоянного фактора (X4=25; Y=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
950 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
950 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
150 |
детерминированный исход |
|
2 |
150 |
детерминированный исход |
|
3 |
850 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
850 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
250 |
детерминированный исход |
|
4 |
250 |
детерминированный исход |
|
5 |
750 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
750 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
350 |
детерминированный исход |
|
6 |
350 |
детерминированный исход |
|
7 |
650 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
650 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
450 |
детерминированный исход |
|
8 |
450 |
детерминированный исход |
|
9 |
550 |
детерминированный исход |
|
9 |
550 |
детерминированный исход |
|
10 |
500 |
все равно |
|
10 |
500 |
все равно |
Лотерея вида <(X, 1), (X, 30)>,Y- фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (X1=20; Y=const) |
|
Значение постоянного фактора (X2=45; Y=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
25 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
25 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
5 |
детерминированный исход |
|
2 |
5 |
детерминированный исход |
|
3 |
20 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
20 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
10 |
детерминированный исход |
|
4 |
10 |
детерминированный исход |
|
5 |
18 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
18 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
15 |
все равно |
|
6 |
15 |
все равно |
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 4 | ||||
|
Значение постоянного фактора (X3=60; Y=const) |
|
Значение постоянного фактора (X4=90; Y=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
25 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
25 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
5 |
детерминированный исход |
|
2 |
5 |
детерминированный исход |
|
3 |
20 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
20 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
10 |
детерминированный исход |
|
4 |
10 |
детерминированный исход |
|
5 |
18 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
18 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
15 |
все равно |
|
6 |
15 |
все равно |
Таким образом, Xи Z взаимно независимы по полезности при фиксированном значенииY.
Лотерея вида <(0, X), (100,X)>,Z- фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (X1=2; Z=const) |
|
Значение постоянного фактора (X2=5; Z=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
90 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
90 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
10 |
детерминированный исход |
|
2 |
10 |
детерминированный исход |
|
3 |
80 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
80 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
5 |
70 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
70 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
30 |
детерминированный исход |
|
6 |
30 |
детерминированный исход |
|
7 |
60 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
60 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
40 |
детерминированный исход |
|
8 |
40 |
детерминированный исход |
|
9 |
50 |
детерминированный исход |
|
9 |
50 |
детерминированный исход |
|
10 |
55 |
все равно |
|
10 |
55 |
все равно |
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 5 | ||||
|
Значение постоянного фактора (X3=18; Z=const) |
|
Значение постоянного фактора (X4=25; Z=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
90 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
90 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
10 |
детерминированный исход |
|
2 |
10 |
детерминированный исход |
|
3 |
80 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
80 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
5 |
70 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
70 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
30 |
детерминированный исход |
|
6 |
30 |
детерминированный исход |
|
7 |
60 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
60 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
40 |
детерминированный исход |
|
8 |
40 |
детерминированный исход |
|
9 |
50 |
детерминированный исход |
|
9 |
50 |
детерминированный исход |
|
10 |
55 |
все равно |
|
10 |
55 |
все равно |
Лотерея вида <(Y, 100), (Y, 1000)>,Z- фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Y1=2; Z=const) |
|
Значение постоянного фактора (Y2=2; Z=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
950 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
950 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
150 |
детерминированный исход |
|
2 |
150 |
детерминированный исход |
|
3 |
850 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
850 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
250 |
детерминированный исход |
|
4 |
250 |
детерминированный исход |
|
5 |
750 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
750 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
350 |
детерминированный исход |
|
6 |
350 |
детерминированный исход |
|
7 |
650 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
650 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
450 |
детерминированный исход |
|
8 |
450 |
детерминированный исход |
|
9 |
550 |
детерминированный исход |
|
9 |
550 |
детерминированный исход |
|
10 |
500 |
все равно |
|
10 |
500 |
все равно |
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 5 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Y3=2; Z=const) |
|
Значение постоянного фактора (Y4=2; Z=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
950 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
950 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
150 |
детерминированный исход |
|
2 |
150 |
детерминированный исход |
|
3 |
850 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
850 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
250 |
детерминированный исход |
|
4 |
250 |
детерминированный исход |
|
5 |
750 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
750 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
350 |
детерминированный исход |
|
6 |
350 |
детерминированный исход |
|
7 |
650 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
650 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
450 |
детерминированный исход |
|
8 |
450 |
детерминированный исход |
|
9 |
550 |
детерминированный исход |
|
9 |
550 |
детерминированный исход |
|
10 |
500 |
все равно |
|
10 |
500 |
все равно |
Таким образом, XиYвзаимно независимы по полезности при фиксированном значенииZ.
С целью выявления возможной аддитивной независимости предложим эксперту выявить равноценность лотерей с равновероятными исходами вида:
первая лотерея: <(Y1,Z1,X1), (Y2,Z2,X2)>
вторая лотерея <(Y1,Z2,X1), (Y2,Z1,X1)>
Предложим ЛПР следующие лотереи:
первая лотерея: <(100, 30,1000), (0, 1, 100)>
вторая лотерея <(100, 1, 1000), (0, 30, 1000)>
Так как исход (Y1,Z1,X1) первой лотереи равноценен по мнению эксперта исходу (100, 1, 1000) второй лотереи, то между факторамиY, Z, и X нет аддитивной независимости. Следовательно, остается независимость по полезности.
Получим следующий результат: фактор Х не зависит по полезности от (Y,Z), а (X,Z) и (X,Y) не зависят по предпочтению отYиZ, следовательно, имеем независимость факторов по полезности и будем в дальнейшем использовать следующую формулу полезности:
U(X, Y, Z)=kXUX(X)+kYUY(Y)+kZUZ(Z)+kkXkYUX(X)UY(Y)+ +kkXkZUX(X)UZ(Z)+kkYkZUY(Y)UZ(Z)+k2kXkYkZUX(X)UY(Y)UZ(Z).