Этап 3. Построение условных функций полезности.

Используем программу EUF11R.COM.

Для фактора y (случай увеличения полезности, при увеличении значений аргумента) однофакторная функция полезности примет вид:

Пределы изменения атрибута: 10 тыс.руб.- 180 тыс.руб.

Отношение к риску: полезность увеличивается с увеличением значения атрибута, несклонность к риску.

Вычисляем постоянную отношения к риску:

10 тыс.руб.- 0,5  180 тыс.руб. - 0,5 и детерминированный эквивалент = 70 тыс.руб..

		Y	U(Y)
c =	0.00735	10	0.000
		30	0.192
		50	0.357
		70	0.500
		90	0.623
		110	0.730
		130	0.822
		150	0.901
		170	0.969
		180	1.000

Для фактора z (случай увеличения полезности, при уменьшении значений аргумента) однофакторная функция полезности примет вид:

Пределы изменения атрибута: 10 дней - 50 дней

Отношение к риску: полезность увеличивается с увеличением значения атрибута, склонность к риску.

Вычисленная постоянная отношения к риску:

10 дней - 0,5  50 дней - 0,5 и детерминированный эквивалент = 35 дней.

		Z	U(Z)
		10	1.000
c =	0.01659	15	0.908
		20	0.808
		25	0.700
		30	0.582
		35	0.454
		40	0.315
		45	0.164
		50	0.000

Этап 4. Нахождение значений шкалирующих констант и построение многофакторной функции полезности.

u(y,x)=k_yu_y(y)+k_zu_z(z)+ k_yzu_y(y)u_z(z),

где u_y(.), u_z(.)  условные (однофакторные) функции полезности,

k_y, k_z, k_yz  шкалирующие константы,

k_y, k_z >0.

Из результатов этапа 2:

k_y+ k_z+k_yz=1

в этом случае:

k_Z=u(y_min, z_min),

k_Y=u(y_max, z_max).

Возьмем два равноценных исхода (y₁, z₁) и (y₂, z₂):

u(y₁, z₁) = u(y₂, z₂),

k_yu_y(y₁)+k_zu_z(z₁)+k_yzu_z(z₁)u_y(y₁)=k_yu_y(y₂)+k_zu_z(z₂)+k_yzu_z(z₂)u_y(y₂).

Предположим, некий исход (y₃, z₃) равноценен лотерее ((y₁,z₁),(y₂,z₂)).

Из определения детерминированного эквивалента:

u(y₃,z₃) = pu(y₁,z₁) + (1-p)u(y₂,z₂).

u_y(180 тыс. руб.)=1

u_y(10 тыс. руб.)=0

u_z(50 дней)=0

u_z(10 дней)=1

u(180 тыс. руб., 10 дней)=1

u(10 тыс. руб., 50 дней)=0

Найдем р, такое чтобы исход (10 тыс. руб., 10 дней) оказался равноценен

лотерее < (180 тыс. руб., 10 дней), p, (10 тыс. руб., 50 дней) >.

ЛПР говорит, что исход (10 тыс. руб., 10 дней) с вероятностью 0,1 равноценен лотерее [(180 тыс. руб., 10 дней), (10 тыс. руб., 50 дней)].

Тогда получаем, что

k_z = p

Найдём такой y, что (y, 50 дней)~(10 тыс. руб., 10 дней).

ЛПР говорит, что y=121 тыс. руб.

Приравниваем полезности и получаем:

k_yu_y(y)=k_z,

Получаем систему уравнений:

Подставляем значения:

отсюда следует, что k_Y=0,128

k_yz=0,772

Итак, функция полезности имеет вид:

u(y, z)=0,128u_y(y)+0,1u_z(z)+0,772u_y(y)u_z(z).

Этап 5. Проверка согласованности построенной функции полезности с системой предпочтений ЛПР.

ЛПР предлагается упорядочить ряд исходов по предпочтительности:

Исходы	Результат - ЛПР
(50 тыс. руб.; 20 дней)	7
(50 тыс. руб.; 30 дней)	8
(50 тыс. руб.; 40 дней)	9
(100 тыс. руб.; 20 дней)	4
(100 тыс. руб.; 30 дней)	5
(100 тыс. руб.; 40 дней)	6
(150 тыс. руб.; 20 дней)	1
(150 тыс. руб.; 30 дней)	2
(150 тыс. руб.; 40 дней)	3

т.е. (50 тыс. руб.; 40 дней)  (50 тыс. руб.; 30 дней)  (50 тыс. руб.; 20 дней)  (100 тыс. руб.; 40 дней)  (100 тыс. руб.; 30 дней)  (100 тыс. руб.; 20 дней)  (150 тыс. руб.; 40 дней)  (150 тыс. руб.; 30 дней)  (150 тыс. руб.; 20 дней).

Исходы	Эксперт -ФП	Результат
(50 тыс. руб.; 20 дней)	0.349	7
(50 тыс. руб.; 30 дней)	0.264	8
(50 тыс. руб.; 40 дней)	0.164	9
(100 тыс. руб.; 20 дней)	0.591	4
(100 тыс. руб.; 30 дней)	0.450	5
(100 тыс. руб.; 40 дней)	0.283	6
(150 тыс. руб.; 20 дней)	0.758	1
(150 тыс. руб.; 30 дней)	0.578	2
(150 тыс. руб.; 40 дней)	0.366	3

т.е. (50 тыс. руб.; 40 дней)  U(50 тыс. руб.; 30 дней)  U(50 тыс. руб.; 20 дней)  U(100 тыс. руб.; 40 дней)  U(100 тыс. руб.; 30 дней)  U(100 тыс. руб.; 20 дней)  U(150 тыс. руб.; 40 дней)  U(150 тыс. руб.; 30 дней)  U(150 тыс. руб.; 20 дней).

ЛПР упорядочивает исходы так же, как построенная экспертом функция полезности, что свидетельствует об адекватности функции полезности.