Результаты расчетов для линейного экспоненциального сглаживания

	Фактическое значение	Прогнозное значение	КТейла	Sост
0.45	31.3	28.6	0.086	4.3577
0.56	31.3	28.86	0.078	4.3397
0.6	31.3	28.885	0.077	4.27
0.65	31.3	28.877	0.077	4.3
0.7	31.3	28.845	0.078	4.341

Остальные значения  нет смысла рассматривать, т.к. оптимальное  находится в рассмотренном периоде согласно динамике К_Тейла и S_ост .

По результатам исследований наилучшей является модель с  = 0.6.

3. Квадратичное экспоненциальное сглаживание

Расчетное значение

Результаты расчетов для квадратичного экспоненциального сглаживания

	Фактическое значение	Прогнозное значение	КТейла	Sост
0.2	31.3	26.935	0.139	5.949
0.32	31.3	30.937	0.012	4.604
0.4	31.3	30.515	0.025	4.691
0.6	31.3	28.933	0.076	5.368
0.8	31.3	27.714	0.115	6.153

По результатам исследований наилучшей является модель с  = 0.32

2. Построение прогноза. Выбор лучшей модели.

Вид модели	Прогнозное значение	Дисперсия S	Нижняя 95% граница	Верхняя 95% граница
Адаптивная СС m = 3	30.3	6.817	14.8727	45.7273
Взвешенная СС m = 5	30.9	8.045	10.7	51.1
Простое экспоненциал. сглаживание  = 0.9	29.6524	4.41	21.0083	38.2965
Линейное экспоненц. сглаживание  = 0.6	29.1492	4.06	21.1865	37.112
Квадратич. экспоненц. сглаживание  = 0.32	31.0005	4.3	22.5742	39.4268

По результатам прогноза лучшей может быть признана модель линейного экспоненциального сглаживания с  = 0.6, имеющая самый узкий доверительный интервал значений.

Формулы расчетов доверительных интервалов

Адаптивная СС m = 3

Взвешенная СС m = 5

, где k=

Простое экспоненциальное сглаживание  = 0.9

Линейное экспоненциальное сглаживание  = 0.6

Квадратичное экспоненциальное сглаживание  = 0.32

2. Проверка гипотезы о наличии тенденции в совокупности.

REM 2: Расчеты в Приложении 2.

1. Метод равенства средних

Проверим ряд на однородность, взяв в различных соотношениях его элементы, а затем для каждого случая определим наличие тенденций.

Проверка гипотезы об однородности рассматриваемых совокупностей.

Н0: ₁ = ₂ – однородны

Н1: ₁  ₂ – неоднородны

Проверка осуществляется на основе сравнения F_расч и F_кр(=0.05,к1=n1-1,к2=n2-1) , распределенных по закону Фишера. Если F_расч < F_кр(,к1,к2), то принимаем гипотезу Н0, в другом случае – Н1.

F_расч = , причем S1 > S2.

Если совокупности однородны, то проверяется гипотеза о равенстве средних.

Н0: – нет тенденций

Н1: – существует тенденция

Проверка осуществляется на основе критерия Стьюдента

, где

Если t_расч > t_кр(, k=n1+n2-2), то тенденция есть, в другом случае – нет.

Результаты расчетов

Разбиение исходного ряда, %	Однородность	Равенство средних
50/50	Не однородны	Не равны
30/70	Однородны	Не равны
70/30	Не однородны	Не равны

Таким образом, учитывая, что ППП Statgraphics проводит анализ равенства средних при неравных дисперсиях, можно сделать вывод о том, что на основе метода о равенстве средних мы выявили наличие тенденции в рассматриваемом ряде.

2. Метод Фостера – Стюарта

Суть метода.

Для каждого уровня ряда подсчитывают параметры u_t (1, если у_t > y_t-1, y_t-2,…, y₁; 0, в остальных случаях) и l_t(1, если у_t < y_t-1, y_t-2,…, y₁; 0, в остальных случаях).

Для определения тенденций в дисперсии подсчитывают

s_t= u_t+ l_t и , аналогично, для определения тенденций в средней подсчитывают d_t= u_t - l_t и .

Проверяется гипотеза о наличии тенденций в дисперсии

Н0: s =  – отсутствие тенденций

Н1: s   – наличие тенденций

Проверка осуществляется на основе критерия Стъюдента: t_расч < t_кр(=0.05,k=n-1) – тенденций нет

В случае отсутствия тенденций в вариации проверяется гипотеза о наличии тенденции в средней (также на основе критерия Стъюдента: t_расч > t_кр(=0.05,k=n-1) – тенденция есть)

Н0: d = 0 – отсутствие тенденций

Н1: d  0 – наличие тенденций

, где , 1, 2 задаются таблично для любого N.

Результаты расчетов

N=30,  = 5.99, 1 = 1.882, 2 = 2.447

	Параметры	|tрасч|	tкр(0.05, 29)	Тенденция
Дисперсия	s = 25	10.101	2.05	Есть
Средняя	d = -19	7.765	2.05	Есть

Так как получили, что совокупность не однородна, то нельзя с уверенностью утверждать о наличии тенденции в средней.

Для наглядности построим график ряда.

Таким образом, можно сделать вывод о наличии тенденции в ряде.

3. Анализ временного ряда с помощью трендовых моделей.

Для начала следует определить виды трендовых моделей, возможных для описания этого временного ряда.

Определим тип экономического роста, рассмотрев абсолютные цепные приросты.

Согласно полученным результатам достаточно сложно определить наличие какого-либо типа экономического роста, поэтому проведем процедуру сглаживания с помощью простой скользящей средней с периодом сглаживания равным пяти периодам и повторим процедуру анализа типа экономического роста.

На основании получившихся расчетов можно сделать вывод, что тренд сглаженного ряда тяготеет ко 2-ому типу роста– замедляющееся сокращение спада и стремление к росту, однако, учитывая сравнительно большой размах абсолютных приростов в начале анализируемого периода, следует построить различные модели на имеющихся данных, что позволит точно определить тенденции в совокупности.

На основе проведенных выше рассуждений, а также непосредственного анализа вида временного ряда определим тренды, с помощью которых будут строиться прогнозы:

1. Линейная функция

2. Линейно – гиперболическая функция

3. Линейно – логарифмическая функция второго порядка

4. Показательная функция

5. Степенная функция

6. Гипербола первого порядка

7. Обобщенная экспонента

8. Парабола второго порядка

9. Парабола третьего порядка

10. Первая функция Торнквиста

11. Кривая Гомперца

REM 3: Расчеты в Приложении 3.

1. Характеристика рассматриваемых трендовых моделей, оценка прогностических способностей.

Для определения лучшей модели используют следующие характеристики:

R² – коэффициент детерминации , где d_i = y_i –y^{^}_i , y’_i – центрированное значение;

S – стандартное отклонение;

DW – коэффициент автокорреляции Дарбина – Уотсона

F – критерий Фишера ;

K_t – коэффициент Тейла.

Коэффициенты уравнений регрессии (трендов) рассчитываются по формуле

_, их дисперсиями являются диагональные элементы матрицы .

Значимость коэффициентов регрессии будет определяться на основе критерия Стъюдента t_расч > t_кр(,N-m-1) – коэффициент значим.

Доверительный интервал для коэффициентов регрессии будет рассчитываться

а_инт = a_точ  t(a,N-m-1)*S_aj

Общая дисперсия уравнения регрессии будет вычисляться по формуле

S²_o = S²*(1 + (Z^p)^T(Z^TZ)^-1Z^p)

Доверительный интервал для прогнозируемых значений будет рассчитываться следующим образом

у_инт(x^p) = y^{^}(x^p) t(a,N-m-1)*S_o

Результаты расчетов

Модель	R2,%		S	DW	Автокор-реляция				F				Значимость модели, %				Kt
99.93-2.94*t	94.44		5.66	0.49	слабая				443				100				0.523
99.77-2.94*t+0.44/t	94.21	5.78		0.5				слабая				1026			100				0.521
	Не значим коэффициент при 1/t
94,16+12,89*ln(t) -------10,36*ln2(t)	97.32	3.9		0.8		нет				2225						100		0.337
110.86*(1-0.05)t	96.12	4.73		0.76			нет				2151			100					0.162
122.23*t-0.32	70.84		12.97	0.33	нет				296.35				100				0.377
47.54+77.48/t	39.6		18.67	0.29	нет				136.84				100				0.658
Exp(4.71-0.051*t)	96.12		4.73	0.76	нет				2304				100				0.161
108.6-4.74*t+0.064t2	96.55		4.46	0.84	нет				1729				100				0.172
99.75-1.26*t-0.24*t2+ +0.0073*t3	97.86		3.52	1.19	нет				2085				100				0.274
	Не значим коэффициент при t
96.04-0.34*t2+0.01*t3	97.79		3.57	1.1	нет				2699				100				0.311
Кривая Гомперца	Не значимы полученное уравнение и коэффициенты
Первая функция Торнквиста	Не значимы полученное уравнение и коэффициенты

Доверительные интервалы прогнозов по моделям и параметров моделей, а также расчеты F- и t –критериев находятся в приложении.

По результатам исследования можно сделать вывод, что лучше других для составления прогноза на 31-33 периоды подойдет экспоненциальный тренд. Следует отметить, что в результате анализа многие модели (например, полиномы 2-ой и 3-ей степеней) показали высокие прогностические способности. Однако, учитывая особенности формализованного представления этих моделей, можно предположить, что составленный на их основе прогноз не будет точным.

II. Построение прогноза на 31-33 периоды.

REM 4: Расчеты приведены в Приложении 4.

Вид модели:

Основные характеристики модели

R2,%	S	DW	Автокор-реляция	F	Значимость модели, %
96.26	4.71	0.68	нет	2399	100

Основные характеристики параметров модели

Параметр	Оценка	Стандарт-ная ошибка	Нижняя 95% граница	Верхняя 95% граница	tрасч	tкритич (a=0.05; =29)
a	4.69956	0.02234	4.654	4.745	210.332	2.05
b	0.04945	0.002	-0.0535	-0.0453	-24.678	2.05

Результаты прогнозирования

Значение периода, t	Прогнозное значение	Стандартная ошибка прогноза	Нижняя 95% граница	Верхняя 95% граница
31	23.7265	4.83112	13.8304	33.6226
32	22.5818	4.82884	12.6903	32.4732
33	21.4922	4.82627	11.606	31.3784

10