В качестве исходной информации для лабораторной работы использован вектор наблюдений в 48 значений. Для него необходимо выполнить действия, которые лежали в основе первой лабораторной работы, а именно выявить общую тенденцию изменения во времени исследуемого показателя и выделить циклическую составляющую.

1-й этап. Выделение трендовой составляющей временного ряда.

Анализ остаточной компоненты.

1.1 Проверка гипотезы о существовании тенденции в динамическом ряду.

Проверка осуществлялась с помощью метода «равенства средних».

(см. Приложение №1)

1.2 Выделение тренда в исходного ряда.

Выяснили, что тенденция в ряду присутствует, приступим к ее выделению. Для этого подберем трендовую модель, статистический критерий выбора оптимальные значения .

------------------------------------------------------------

- -----------------------------------------------------------

Лучшей в данном случае трендовой моделью является функция Y=14.4123+41.58/t (Reciprocal-X), основные характеристики и параметры которой удовлетворяют всем требованиям. Построение данного тренда и его характеристики представлены в Приложении №2

Построим тренд, и выделим остатки в исходном динамическом ряду:

Визуальный анализ графика остатков позволяет выдвинуть предположение о существовании некой периодической составляющей. Но это предположение нужно еще доказать.

2-й этап. Выделение циклической составляющей временного ряда.

Стационарный случайный процесс может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний различных частот, называемых гармониками.

Стационарная случайная функция X(t) может быть представлена в виде канонического разложения:

где – некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями, то есть

Подобное разложение называют спектральным разложением стационарного случайного процесса X=X(t). Спектр стационарной случайной функции описывает распределение дисперсий по различным частотам.

2.1 Определение длины периода m.

2.1.1 Построение периодограммы средствами ПП StatsGrafics. (Приложение №3)

По максимальному значению ординаты на графике определяем, что длина периода в ряду равна m=16.

2.1.2 Определение длины периода m аналитическим способом. Оценки Парзена.

Оценки Парзена подразумевают под собой проведение спектрального анализа временного ряда. Цель этого анализа – это дать оценку спектра ряда. Под спектром временного ряда понимают разложение дисперсии ряда по частотам для определения существенных гармонических составляющих.

Значение спектра оценивается по формуле

частоты, для которых оцениваются спектры ,

- автоковариационная функция, - специально подобранные веса значений ковариационной функции, зависящие от частоты m.

Существуют оценки Тьюки-Хеннинга и Парзена. Оценки Парзена лучшие, так как они никогда не принимают отрицательных значений. Веса для них находятся по формуле:

Значения автоковариационной функции определяются

z_t – отклонения от тренда .

Тогда формула для расчета оценок спектра примет вид:

По максимальному находится пик спектра; гармоническая составляющая имеет период

Рассмотрим применения методики спектрального анализа на нашем примере.

Примем m=n/6. Где n=48. k=0,1,2…16. Тогда

С0	99,3202	С9	-71,5562
С1	84,1677	С10	-50,3635
С2	66,2868	С11	-29,705
С3	95,2687	С12	1,4226
С4	2,3894	С13	22,8662
С5	-32,2125	С14	45,9918
С6	-55,9175	С15	54,6417
С7	-75,3713	С16	60,617
С8	-74,7106

Веса автоковариационной функции

₀=1 ₄=0,71875 ₈=0,25 ₁₂=0,03125 ₀=0

₁=0,9780 ₅=0,59717 ₉=0,16748 ₁₃=0,01318

₂=0,91797 ₆=0,47266 ₁₀=0,1055 ₁₄=0,003906

₃=0,8286 ₇=0,3540 ₁₁=0,06104 ₁₅=0,000488

Используя значения автоковариационной функции и ее веса, вычислим оценки спектра:

u₀=89,3135 u₄=35.3559 u₈=27.9171 u₁₂=40.1454 u₁₆=16.6453

u₁=98,1093 u₅=12,5953 u₉=40,9614 u₁₃=36,6868

u₂=120,213 u₆=21,4791 u₁₀=51,8313 u₁₄=29,6127

u₃=94,0694 u₇=26,0096 u₁₁=48,0512 u₁₅=18,5253

Сравнивая оценки спектра , видим, что пик в спектре временного ряда остатков находится в точке . Следовательно, в исследуемом ряду имеется существенная гармоническая составляющая с периодом месяцам.

Построим нашу функцию