2. Ограничения на ресурсы.

Модель Леонтьева отражает те потенциальные возможности, которые заложены в технологии производства. В этой модели предполагается, что все промежуточные к тому моменту, когда они оказываются необходимыми, уже произведены. Однако в реальной ситуации нужно принимать в расчёт наличие таких ограничительных факторов производства, как мощность каждой отрасли (материальные ресурсы) и общее количество рабочей силы в системе (трудовые ресурсы).

Пусть L – общее число рабочих и l = (l₁ l₂ …. l_n) - матрица- строка затрат рабочей силы: каждый её элемент l_k > 0 показывает количество рабочих, необходимое для производства единицы k- го продукта.

В предположении линейности производства произведение

показывает количество рабочей силы, необходимое в сфере производства при режиме работы х.

Ясно, что оно не может превосходить общего числа рабочих

.

Ограничения на мощности отраслей можно описать при помощи столбца

,

превзойти который столбец выпуска не может, х ≤ m.

При ограниченных ресурсах уже нельзя ставить вопрос об удовлетворении любого конечного спроса с > 0. Тем не менее продуктивная система может обеспечить любую структуру прибавочного продукта, т.е. соотношение между количеством прибавочных продуктов первой и второй отраслей.

ТЕОРЕМА. Пусто дана продуктивная матрица А > 0, столбцы с > 0 и m > 0, строка l > 0 и число L > 0. Тогда задача

х - Ах ≤ α с,

lх ≤ L, (1)

х ≤ m,

x ≥ 0,

α→max

имеет, и притом ровно одно, решение.

Рассмотрим на конкретном примере, как можно решать такую задачу.

Пример 3. Даны

, , , , L= 40.

Начнём с решения системы х - Ах = α с, или подробнее:

,

что равносильно:

2/3 х₁ – 1/2 х₂ = 4α,

- 1/12 х₁ + ¾ х₂ = 5α.

Откуда х₁=12 α, х₂ =8 α или

Полученный столбец должен подчиняться условиям lх≤L, х ≤ m, которые в данном случае принимают вид:

, .

Отсюда имеем:

80α ≤ 40 , α ≤ ½,

12α ≤ 40, α ≤ 1/3,

8α ≤ 40 α ≤ 3/8.

Наибольшее значение α, удовлетворяющее всем трём условиям, равно 1/3.

Ответ. α_max = 1/3, столбец выпуска , конечный продукт α_maxс = .

Замечание 1. Соотношение между количеством первого и второго прибавочного продукта 4 : 5 – то же, что и в случае отсутствия каких – либо ограничений на материальные и трудовые ресурсы.

Замечание 2. При n =2 соотношения (1) принимают вид:

(1 – а₁₁) х₁ – а₁₂ х₂ = α с₂,

- а₂₁ х₁ + (1 – а₂₂)х₂ = α с₂,

l₁х₁ + l₂х₂ ≤ L,

х₁ ≤ m₁, (2)

х₂ ≤ m₂,

α → max.

Решение системы уравнений (2) запишем:

х₁ = α b₁, x₂ = α b₂,

где b₁ и b₂ выражаются через элементы матрицы А и столбца с.

Отсюда получаем

, или .

Полученное равенство на плоскости (х₁, х₂) описывает прямую, проходящую через начальную точку 0 (0,0).

В

х₂

свою очередь, неравенства (2) можно проиллюстрировать так, как показано на рис.1.

α_max

х₁

0

Рис.1.

Замечание. На рис.1 жирная точка соответствует α_max.