Анализ условия задачи и ввод обозначений

На предприятии могут использоваться 7 технологических способов. При этом при помощи первого и второго способов выпускается продукция А, при помощи третьего и четвертого – Б, а при помощи пятого, шестого и седьмого – В. Таким образом здесь в качестве понятия интенсивности использования технологического способа выступает количество изделий соответсвующего вида.

В процессе производства используются разнообразные ресурсы, в данной задаче лимитированы затраты труда, сырья и станочного оборудования. В задаче приведены характеристики технологических способов в расчете на выпуск единицы продукции соответсвующего вида.

Для изготовления продукции предприятие располагает втрудовыми ресурсами, сырьем в конечном количестве, а также имеет конечный эфективный фонд станочного оборудования.

Предприятие установило минимальное значения выпуска продукции вида В.

Интерес предприятия, по условию, выражен вполучении максимального количества товарной продукции. Это количество складывается из максимального числа комплектов (в которые входят виды продукции А и Б) – Z₀ и максимального числа изделий В – X₃.

Заметим, что имеется не производство, а поставка изделий А и Б в комплекте, т.е. на предприятии могут оставаться излишки некоторых изделий, не вошедших в комплекты. Таким образом, количество комплектов будет определяться как

,

где Х₁ – количество изделий А, а Х₂ – количество изделий Б.

Введем следующие обозначения. Пусть x_ij – количество изделий i-го вида, произведенных j-м способом. Тогда Х₁ = х₁₁ + х₁₂, Х2 = х23 + х24, Х₃ = х₃₅ + х₃₆ + х₃₇.

Постановка прямой задачи

Как уже должно быть понятно, целевая функция выглядит следующим образом

Z₀ + х₃₅ + х₃₆ + х₃₇  max

Система ограничений содержит ограничения по трудовым ресурсам, сырью и станочному оборудованию, а также условие минимального задания выпуска продукции В и специальное ограничение по количеству комплектов. Она имеет вид

Полученная задача ЛП решается симплекс-методом, с помощью программы BLP88. Таким образом прогноз плана следующий.(см. Приложение).

Выпускается только продукция В всеми тремя способами х₃₅ = 1750 шт. (пятым способом), х₃₆ = 5234 шт. (шестым способом), х₃₇ = 4000 шт. (седьмым способом).

Как видно из приложения, оптимальный план единственный (все оценочные коэффициенты при небазисных переменных строго положительны).

Постановка двойственной задачи

Представим теперь такую ситуацию, что нам предлагают "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у₁ рублей за каждую единицу первого ресурса, у₂ руб. – второго, у₃ руб. – третьего,…, у₆ руб. – шестого. Возникает вопрос: при каких ценах у_i (i=1,..,6) мы можем согласиться с таким предложением.

Величины у₁, у₂, …, у₆ - расчетные, или двойственные, оценки ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.

Сформулируем двойственную задачу и найдем значения двойственных оценок ресурсов.

Целевая функция будет иметь вид:

220000 у₁ + 160000 у₂ + 70000 у₃ + 40000 у₄ + 160000 у₅ + 400000 у₆  min

Следует учесть, что уравнения, описывающие затраты на производство 1 комплекта (2А + 3Б) способами 1 и 4-м (а также 2 и 4-м) и прибыль за него полученную, можно опустить, так как они верны при любых положительных оценках у. Система ограничений тогда имеет вид:

Полученная задача ЛП решается симплекс-методом, с помощью программы BLP88. Таким образом прогноз плана следующий.(см. Приложение).

Двойственные оценки ресурсов следующие:

у₁, = у₂ = у₄ = у₆ = 0; у₃ = 2000; у₅ = 9500

Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка третьего ресурса у₃=2000 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 2000 единиц.