Оценка дисперсии случайной составляющей.

Для описания модели мы имеем уравнение:

Следовательно, зная оценки параметров a, мы можем выразить случайную составляющую e: . Дадим оценку этой величине, подставив в уравнение оценки параметров и обозначим оценку специальным символом= Y -. Дадим оценку дисперсии, учитывая, что Me = 0.

,

здесь —это выровненные значения, полученные по методу наименьших квадратов.

H=E_n - X(X^TX)^-1X^T эта матрица идемпотентна, то есть H²=H теперь математическое ожидание оценки дисперсии можно представить так:

где:

h_jj — неслучайная величина (можно вынести из-под мат ожидания)

Me_j e_j=0 при j¹j^’

trH - след матрицы, сумма диагональных элементов.

Теперь для того, чтобы оценка была несмещенной, необходимо, чтобы коэффициент был равен q =. Получаем формулу:

Проверка гипотез о параметрах регрессии.

Мы получили выборочные значения параметров регрессии, а истинностные значения мы можем только оценить. Для этого рассчитывается коэффициент t_i для каждого из параметров регрессии,

—величина, распределенная по закону Стьюдента (С=)

теперь по таблице распределения Стьюдента определяется табличный коэффициент в зависимости от выбранной вероятности (a=0.95) и числа степеней свободы n - k - 1. Затем сравнивается табличное и расчетное значения коэффициента.

Если çt_iç<t_a(n-k-1) , то соответствующий теоретический коэффициент регрессии равен нулю, а потому соответствующий фактор выводится из модели.

Если çt_iç>t_a(n-k-1) , то соответствующий теоретический коэффициент регрессии не равен нулю и можно считать верным значение, полученное по выборке.

Для теоретических значений параметров регрессии можно рассчитать доверительные интервалы c заданной точностью (вероятностью):

Проверка гипотез о модели в целом.

Для определения качества всей модели в целом используется критерий Фишера. Определяется табличный коэффициент с заданной вероятностью (a=0.95) и степенями свободы k и n - k - 1; он сравнивается с расчетным коэффициентом F:

F=

Если F_расч£ F_табл , то в этом случае построенное уравнение модели в целом незначимо и основываться на его результатах в качестве прогноза нельзя.

Если F_расч> F_табл , то в этом случае уравнение значимо и оно правильно отражает свойства реального объекта.

Если уравнение модели адекватно отвечает условиям реального объекта, то по такой модели можно строить прогнозы — одна из основных задач построения модели. Прогнозы бывают точечными или интервальными. Для построенной модели в практической части задания делаются прогнозы на последние года функционирования экономики страны (1991 — 1995гг) и полученные результаты сравниваются с данными наблюдений.

Прогнозируемое значение получают по формуле:

Чтобы получить доверительный интервал для теоретического значения детерминированной составляющей, необходимо найти дисперсию точечного прогноза:

Отсюда можно получить следующий интервал для определения истинностного значения y(x):

где t_T — табличное значение распределения Стьюдента при заданном уровне значимости и числе степеней свободы.