Теоретическая часть работы.

Производственная функция выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономической производственной подсистемы с помощью производственной функции эта подсистема рассматривается как "черный ящик", на вход которого поступают ресурсы R₁,....,R_n, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Y₁,.....,Y_m. В качестве ресурсов (факторов производства) наиболее часто рассматриваются накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) K и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата - валовой общественный продукт Y (либо конечный продукт, либо национальный доход).

Производственные функции принадлежат к наиболее известным и широко употребляемым моделям. Они позволяют:

1. Проводить разнообразные аналитические расчеты.

2. Определять эффективность использования ресурсов и целесообразность их дополнительного вовлечения в сферу производства.

3. Прогнозировать выпуск производства при тех или иных вариантах развития объекта (т.е. при различных вариантах наличия ресурсов).

Производственная функция Кобба-Дугласа.

Так как построению именно этого типа ПФ и будет посвящена работа, то о ней необходимо рассказать более подробно. Эта функция имеет вид:

или для произвольного числа ресурсов

Из этих формул легко увидеть, что если x_i=0 " i , то Y=0. В этом удобство этой функции как мультипликативной: при отсутствии одного ресурса выпуск =0. Так как объектом моделирования выступает народное хозяйство страны, то в качестве ресурсов принимаются объем производственных фондов (K) и количество трудовых ресурсов (L). Такую функцию называют макроэкономической и в этом случае мы будем пользоваться формулой (1).

Чтобы функция полностью соответствовала реальности, необходимо ввести корректировочный коэффициентd_t. Этот коэффициент будет больше 1, если реальный выпуск продукции Y больше, чем правая часть, и меньше 1, - если меньше. Получаем следующую формулу:

Представим эту функцию в логарифмах, то есть приведем ее к линейному виду.

Введем соответствующие обозначения для более удобного представления модели:

ln(X)=Y_t

ln(dA)=ln(A)+ln(d),

здесь А - коэффициент нейтрального технического прогресса (при прочих равных условиях при большем А соответствующее количество выпускаемой продукции больше).

ln(A) - обозначим как a₀ и будем считать, что независимая переменная при этом параметре - Х₀ есть константа равная 1.

ln(d) - случайная составляющая модели, обозначим ее как ,

ln(K) — Х₁,

ln(L) — Х₂,

a_K — a₁,

a_L — a₂.

Получаем такой вид модели:

Мы пришли к модели линейной множественной регрессии. Параметры a₀, a₁, и a₂, можно определить методом наименьших квадратов, как и будет проделано в работе.

Оценки коэффициентов регрессии по методу наименьших квадратов.

Здесь: Y=e=a=X=

Метод наименьших квадратов состоит в минимизации квадратов отклонений . Для нашей задачи имеем функцию:

Q(a)=® min

Для ее минимизации приравняем к 0 первые производные по каждому параметру:

=0

=0

=0

Получаем три уравнения для нахождения трех параметров регрессионной модели. Несколько преобразуем полученные уравнения а затем для удобства будем все записывать в матричной форме:

—элемент матрицы , так как x_ji — элемент матрицы X, а x_jl элемент матрицы X^T, то в матричной форме получаем:

X^TX — матрица размерностью 3х3, так как перемножаются матрицы с размерами соответственно [(3х36); (36х3)],— вектор столбец размерности [3х1], из произведение есть вектор-столбец размерностью [3х1]. С другой стороны равенства стоит тоже вектор-столбец размерностью [3х1], так как он получен умножением матрицы размером [3х36] на вектор-столбец [36х1]. Теперь выразим оценки параметров:

Подставляя данные, полученные в результате наблюдения, мы получим оценки параметров регрессионной модели. Далее в работе необходимо изучить случайную составляющую модели = ln(d).