16. Дробный факторный эксперимент.

Число опытов можно резко сократить, применяя так называемый дробный факторный эксперимент (дробные реплики от полного факторного эксперимента). Допустим, что нужно получить линейное приближение поверхности отклика при 3 независимых переменных К = 3. При этом известно, что влияние Х1 на Х2 мало. Возьмем за основу матрицу планирования полного факторного эксперимента 2-ой степени.

(*)

				КМП
+	-	-	+	1
+	+	-	-	а
+	-	+	-	b
+	+	+	+	ab

Возьмем матрицу планирования (*). Проведя эксперименты согласно матрице (варьируя Х1 и Х2, причем Х0 и Х1Х2 - столбцы расчетные), мы получаем множество {У1, У2, У3, У4}. Используя метод наименьших квадратов, мы получаем В0, В1, В2, В12, т.е. зависимость У от Хi. В этом случае, если отсутствует взаимодействие между Х1 и Х2, то можно предположить, что В12 = 0.

Это соответствует тому, что для дальнейшего использования нам достаточно иметь линейные зависимости кривой отклика, т.е. полином типа У = В0 + В1Х1 + В2Х2. В этом случае столбец Х1Х2 в матрице планирования можно заменить управляющим столбцом, влияющим на проведение эксперимента. Тогда в 1 опыте Х3 = Х1Х2 должен занимать верхний уровень, во втором - нижний, в третьем - нижний, в четвертом - верхний. Соответственно, мы получим новые У1, У2, У3, У4. Предположим теперь, что Х3 будет равняться (- Х1Х2). Тогда мы имеем новую матрицу планирования эксперимента.

(**)

			-	КМП
+	-	-	-	1	’
+	+	-	+	аc	’
+	-	+	+	bc	’
+	+	+	-	ab	’

*,** - матрицы дробного факторного эксперимента

* + * - матрица полного факторного эксперимента.

* - имеет четное число «+», ** - имеет нечетное число «+».

Чтобы получить матрицу планирования полного факторного эксперимента достаточно использовать формулу:

Однако, чтобы разделить матрицу полного факторного эксперимента на 2 матрицы дробного факторного эксперимента, надо выделить строки с четным количеством латинских букв ((1) = 0, является четным) и строки с нечетным числом латинских букв.

+	-	-	-
+	+	-	-
+	-	+	-
+	+	+	-	(***) = (*) + (**)
+	-	-	+
+	+	-	+
+	-	+	+
+	+	+	+

Пусть мы имеем полный факторный эксперимент . В этом случае, переходя к полуреплике, в качестве дополнительно варьируемой переменной может быть уже. И тогда мы имеем следующую вещь:=, = – , =, = – , =,= – , =,= – ,т.е. здесь вариантов (8) намного больше, т.е. мы получаем 8 вариантов полуреплик.

(****)

Если 0, тогда (-) можно заменить на. Мы имеем 7 независимых переменных.

При возможны 8 замен. При указанных заменах мы будем иметь 8 вариантов полуреплик. При таком алгоритме получения полуреплик у данных матриц сохраняются следующие свойства: нормировка (нормирование), симметричность, ортогональность. В результате полного факторного эксперимента мы будем иметь полином (****). При этом для сокращения числа опытов мы можем переходить не только к полурепликам, но и к четвертьрепликам (когда независимые переменные), 1/8 репликам ( ) и 1/16. Причем причисло степеней свободыf=0, причисло степеней свободыf=1 и т.д. Указанный алгоритм характерен только для регулярных реплик, а именно, когда каждый фактор имеет 2 уровня +1 и -1.

Как следует из методики построения дробного факторного эксперимента число опытов уменьшается враза, где р - число взаимодействий, заменяемых новыми экспериментами.

Соответственно: полуреплика

При проведении эксперимента согласно полурепликам можно встретиться с таким случаем, что недопустимо пренебрегать взаимодействием 2-х независимых переменных. Поэтому наша расчетная величина складывается из 2-х взаимодействий:

Полученные в результате проведения эксперимента по матрице (*), получаем , состоящих из 2-х оценок: оценки истинного значения коэффициента при и соответствующего коэффициента .

По матрице (**)

,теперь мы можем оценить истинные значения

(1)

Проводя эксперименты по матрице (**), каждое полученное значение будет состоять из и взаимодействий других двух. Тогда окончательные значениямогут получиться по формулам (1). Указанные действия нужны для проверки значимости того, что.

Вывод: при полном факторном эксперименте получаем истинные значения коэффициентов взаимодействия, а при использовании полуреплики, чтобы убедиться в допустимости пренебрежения элементами взаимодействия, надо провести эксперименты по симметричной полуреплике, и рассчитать по формуле соответствующие коэффициенты, убедиться в допустимости приравнивания к 0.

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов, и чем больше числовая величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор на кривую отклика. Удобно оценивать вклад фактора при переходе его с нижнего к верхнему уровню. Такой вклад называется эффектом (главный эффект фактора и численно равен удвоенному коэффициенту). Символическое обозначение произведения столбцов матрицы планирования, равное +1 или – 1, носит название определяющий контраст. Он позволяет определить смешанные эффекты. Для того, чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту.

Матрица планирования эксперимента ортогональна, т.е. зависимости между и= 0 (= 0)

Соотношение, показывающее с каким эффектом смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят названия планов с разрешающей способностью времени (по наибольшему числу факторов в разрешающем контрасте).

Такие факторы обозначаются римскими цифрами. Пример:

фактора.

фактора: определяющий контраст.

Матрица планирования экспериментов будет иметь такой вид: {(1), ad, bd, cd, bc, abcd}.

№						КМП
1	+	+	+	-	-	ab	10	+	-	-
2	+	-	-	-	-	(1)	9	+	+	+
3	+	+	-	-	+	ad	15	-	-	+
4	+	-	+	-	+	bd	25	-	+	-
5	+	+	+	+	+	abcd	26	+	+	+
6	+	-	-	+	+	сd	14	+	-	-
7	+	+	-	+	-	aс	5	-	+	-
8	+	-	+	+	-	bс	20	-	-	+
	15,5	-1,5	4,75	0,75	4,5			-0,75	0,75	2

Если матрица ортогональна, то сумма произведений элементов столбцов равна 0.