с 5 по 9 / 8_SISTEM_SChISLENIYa

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ - способы кодирования числовой информации,т.е. способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.

В древнем Вавилоне делили час на 60 мин., угол на 360 градусов, англосаксы начали делить год на 12 месяцев, сутки на два периода по 12 часов, продолжительность года 360 суток.

В Риме семь чисел обозначают буквами. 1-I, 5-V, 10-X, 50- L,100-C, 500-D, 1000-M

IV (4=5-1)

VI (6=5+1)

Значение числа определяется как сумма или разность цифр числа. Это НЕПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ.

Славяне числа кодировали буквами а=1, В=2, Г=3; чтобы избежать путаницы ставился специальный знак ~ титло АЛФАВИТНАЯ система счисления. Славянская нумерация сохранялась до конца XVII века.

При ПетреI возобладала т.называемая арабская нумерация. Славянская нумерация сохранилась в богослужебных книгах.

Самой популярной системой кодирования чисел оказалась позиционная, десятичная. Используются десять цифр. Значение каждой определяется той позицией, которую цифра занимает в записи числа.

Эта система пришла из Индии, где она появилась не позднее VI века,европейцы заимствовали ее у арабов,назвав ее арабской. Из арабского языка заимствовано слово "цифра". Причина ее возникновения анатомическая-10 пальцев АНАТОМИЧЕСКАЯ система счисления (существовали пятиричные, двадцатиричные системы счисления)

Напр., 23 -три единицы, два десятка 32 -две единицы, три десятка 400 -4 сотни, два 0 вклад в число не дают, нужны для того,чтобы указывать позицию 4.

В десятичной позиционной системе особую роль играет число 10 и его степени, например, 1996 - 6 единиц, 9 десятков, 9 сотен 1 тысяча или 1996=6+9*10+9*100+1*1000, т.к.1000=103 в третьей степени, 100=102, 10=101, т.о. 1996=1*103 + 9*102 + 9*101 +6*100.

ЛЮБОЕ ЧИСЛО В НУЛЕВОЙ СТЕПЕНИ РАВНО ЕДИНИЦЕ 0,10 = 1

Т.е. любое 4-х значное число можно записать в следующем виде:

N=a3*103+a2*102+a1*101+a0*100

a3, a2, a1, a0-десятичные цифры, от 1 до 9 или коэффициенты 3 2 1 0 -разряды, степени

число 10 со степенями называют основанием системы счисления

Но основанием системы может быть не обязательно число 10, т.о. мы можем записать число в

р-ичной системе, где основанием будут степени числа р Т.о. любое число N в р-ичной системе мы можем представить в виде формулы:

N=an*Pn+an-1*Pn-1+...+a1*P1+a0*P0

Если взять за основание 60, то придется использовать 60 разных цифр. Такая система была в Древнем Вавилоне. Если основанием возьмем 2, получим систему всего с двумя цифрами:

0 и 1. К сожалению в этой системе даже небольшие числа записываются слишком длинно, так 1995 в двоичной системе записывается

199510=111110010112

Система счисления, где 2 является основанием системы называется ДВОИЧНОЙ СИСТЕМОЙ СЧИСЛЕНИЯ относится к МАШИННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ, к машинным системам счисления относятся и восьмиричная и шестнадцатиричная. Т.о. существуют следующие системы счисления: ВАВИЛОНСКАЯ,РИМСКАЯ,АЛФАВИТНЫЕ, АНАТОМИЧЕСКИЕ, МАШИННЫЕ

Системы счисления делятся так же на ПОЗИЦИОННЫЕ И НЕПОЗИЦИОННЫЕ .

ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

Как узнать чему равно девятизначное двоичное число N=1111101002

Подпишем сверху каждый разряд

87654321010 - 1 разряды (степени двойки)

1111101002

В двоичной системе особую роль играет двойка и ее степени.

Т.о.111110100=1*28 +1*27 +1*26 +1*25 +1*24 +0*23 +1*22 +0*21 +0*20 =1*256+1*128+1*64 +1*32 +1*16 +0*8 +1*4 +0*2 +0*1=256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 +0 =500

ПЕРЕВОД В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Пусть нужно перевести в двоичную систему число 234. Будем делить 234 последовательно на 2 и запоминать остатки, не забывая про нулевые.

Выписав все остатки, начиная с последнего 3 в обратном порядке,получим двоичное разложение числа.

23410 = 111010102

ВОСЬМЕРИЧНАЯ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Запись числа в двоичной системе удобна для компьютера, но громоздка для человека. На помощь приходят системы, родственные двоичной ВОСЬМИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ использует 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Единица, записанная в самом младшем разряде означает просто единицу (1*8 в нулевой степени), та же единица в следующем разряде обозначает 8 (1*8 в первой), в следующем 64(1*8 во второй)и т.д.

2 1 0 1- разряды (степени восьмерки)

1008 =1*82 +0*81 +0*80 = 1*64+0+0=6410

8 - это 2 в третьей степени. При переводе в восьмиричную систему двоичное число из трех записывается одной цифрой.Восьмиричная запись Двоичное представление впереди стоящий 0 ничего не значит

0 000

1 001

2 010

3 011

4 100

5 101

6 110

7 111

Для перевода из двоичной в восьмиричную число, записанное в двоичной системе делим на триады справа налево

Например , 11011100011=11 011 100 011 и заменить каждую группу одной восьмиричной цифрой 2 2 4 2 и получим 22428

Для перевода числа из восьмиричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, представив каждую цифру в виде триады (1 в двоичной системе 1 добавляем до триады впереди 00)6 1 1

110 001 001

Еще компактней выглядит запись двоичного числа в ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ.

Для первых 10 из 16 шестнадцатиричных цифр используются привычные цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, а для остальных используют первые буквы латинского алфавита

A-10 D-13

B-11 E-14

C-12 F-15

Цифра 1 в самом младшем разряде означает 1, в следующем разряде означает 16 (в первой степени), в следующем разряде 16*16 (162)=256, в следующем разряде 1*163 и т.д.

10016 =25610

Цифра F, записанная в самом младшем разряде означает 15 в десятичной системе, F в следующем разряде означает 15*16 в первой степени в десятичной системе и т.д.

2 1 0 - 1 разряды (степени числа 16)

Число 21016=10*162+15*161+0*160

21016=10*256+240+0*1=2560+240+0=280010

2 1 0

BAD16= 11*162+10*161+13*160=11*256+10*16+13*1=2816+160+13=298910

16 - это 2 в четвертой степени. При переводе из двоичной системы в шестнадцатиричную число двоичное число из 4-х цифр кодируется числом из одной цифры в шестнадцатиричной системе.

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную, представив каждую цифру в виде сочетания четырех 1 и 0A O F AOF16

1010 0000 1111

Как осуществить перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатиричную? Необходимо разбить число, записанное в двоичной системе на группы по 4 разряда справа налево, заменив каждую группу одной шестнадцатиричной цифрой1101 1010 1101 в двоичной

11 10 13 в десятичной

B A D в шестнацетиричной

10 2 8 16

0 000 0 0

1 001 1 1

2 010 2 2

3 011 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F