Место дисциплины в учебном процессе.

Дисциплина «Дискретная математика» входит в состав дисциплин непрерывной подготовки студентов в области «информатики». В широком смысле дискретная математика ограничивается новыми разделами, которые стали развиваться во второй половине ХХ века в

связи с научно-техническим прогрессом, поставившим изучение сложных управляющих систем в связи с внедрением ЦВМ. К этим разделам относятся: теория графов, теория кодирования, комбинаторный анализ, математическая логика, теория конечных автоматов, языки и грамматики. Дискретная математика является не только фундаментом кибернетики, но и важным звеном математического образования.

Цель преподавания дисциплины.

Основной целью является ознакомление студентов с рядом основных понятий дискретной математики. Главная задача дисциплины- обучение методам и мышлению, характерным для дискретной математики. Материал содержит базовые сведения из дискретной математики и ее приложений

Требования к знаниям студентов.

В результате изучения дисциплины студенты должны знать:

• основные понятия теории множеств (способы задания множеств, операции над множествами, диаграммы Эйлера-Венна)

• основные понятия алгебры логики: высказывания, формулы логики высказываний; упрощение формул; составление таблиц истинности;

• понятие булевых функций (переключательных функций), их упрощение. Представление булевых функций релейно-контактными схемами; представление булевых функций коммутационными схемами;

• понятия конъюнктивных и дизъюнктивных нормальные формы булевых функций;

• принципы составления совершенных дизъюнктивных нормальных форм и совершенных конъюнктивных нормальных форм;

• правила построения совершенных дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм;

• некоторые правила минимизации булевых функций: построение карты Карно;

• понятие отношения, виды отношений и их свойства; отношения эквивалентности, разбиения; функции;

• элементы теории неопределенностей: понятия предикатов и кванторов;

• графы (способы их задания, степени вершин, эйлеровы и гамильтоновы графы);

• основные формулы комбинаторики: сочетания и размещения с повторениями и без повторений; разбиения, формула включений и исключений

• элементы теории кодов: схема кодирования, типы кодов;

• элементы теории конечных автоматов. Понятие машины Тьюринга;

Изучение дисциплины предполагает применение следующих методов изучения дисциплины:анализ литературыи источников, ознакомление с теоретическим материалом.

Итоговая форма контроля: экзамен. Учебным планом предполагается написание контрольной работы.

Тематический план

Перечень тематических разделов:

Тема 1.Элементы теории множеств.

Понятие дискретной математики. Понятие множества, элементов множества. Конечные, бесконечные, пустые множества. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение, произведение множеств. Свойства операций над множествами.

Тема 2. Логика высказываний.

Понятия высказываний. Логические связки. Формулы логики высказываний. Основные равносильности. Тождественно истинные и тождественно ложные, выполнимые и опровержимые формулы.

Тема 3. Переключательные функции.

Понятие булевой функции. Теорема о возможном числе булевых функций. Равенство булевых функций.

Тема 4.Специальные разложения переключательных функций: Дизъюнктивные нормальные формы. Конъюнктивные нормальные формы.

Понятие литеры, элементарной конъюнкции и элементарной дизъюнкции. Алгоритм построения ДНФ, алгоритм построения КНФ.

Тема 5. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы. Совершенные конъюнктивные нормальные формы.

Понятие конституенты единицы и конституенты нуля. Теорема о представлении булевой функции в виде дизъюнкции конституент единицы. Теорема о представлении булевой функции в виде конъюнкции конституент нуля.

Тема 6.Представления булевых функций релейно-контактными схемами. Двойственные функции. Коммутационные схемы.

Тема 7. Минимизация булевых функций.

Понятие минимизации. Метод упрощения при помощи формул и построение карты Карно.

Тема 8. Полнота системы булевых функций.

Замыкание и его свойства. Класс Р₀и его свойства. Класс Р₁и его свойства. Классы линейных и самодвойственных функций. Класс монотонных функций. Критерий полноты Поста.

Тема 9. Элементы теории неопределенности: Предикаты и кванторы.

Понятие предиката (одноместного, многоместного). Область определения и область истинности предиката. Операции над предикатами. Операции навешивания кванторов на предикаты (квантор всеобщности, квантор существования, квантор единственности)

Тема 10. Элементы теории графов. Степень вершин графа.

Понятие графа, конечного графа. Смежные вершины, ребра, инцидентность вершин и ребер, кратные ребра, петля, изолированная вершина, дуга. Понятие орграфа. Степень вершин графа, орграфа. Теорема Эйлера о сумме степеней вершин графа.

Тема 11. Способы задания графа. Маршрут, путь, цепь, цикл. Операции над графами

Способы задания графа: графический, множествами вершин и ребер, табличный, матричный (матрица смежности и матрица инцидентности). Понятия маршрута, пути, цепи, простой цепи. Цикл.

Длина цикла. Понятие полного графа. Основные операции над графами: дополнение, пересечение, объединение, сумма.

Тема 12.Связность графа. Эйлеровы и гамильтоновы цепи и циклы. Сети.

Задача о кенигсбергских мостах. Связность, достижимость вершин. Связность графа. Эйлеров цикл. Эйлеров граф. Теорема Эйлера. Теорема эйлеровости для орграфа. Эйлерова цепь. Гамильтоновы циклы, цепи. Гамильтонов граф. Понятие сети, источника, стока в сетевом графике. Понятие полного пути.

Тема 13. Деревья и лес.

Понятие подграфа графа, компонент связности. Дерево. Висячие вершины, ребра. Лес. Теорема об эквивалентности понятий в дереве.

Тема 14.Отношения

Унарные, бинарные, n-местные отношения. Свойсва бинарных отношений.

Тема 15. Комбинаторика

Основные правила комбинаторики. Размещения без повторений. Размещения с повторениями. Сочетания без повторений. Свойства сочетаний без повторений. Сочетания с повторениями.

Тема 16. Биномиальная и полиномиальная формулы.

Формула бинома Ньютона. Разбиения. Полиномиальная формула. (2)

Тема 17. Формула включений и исключений.

Тема 18. Элементы теории кодирования

Понятие кодирования, алфавита, слова в кодировании. Типы кодирования.

Тема 19. Элементы теории конечных (дискретных) автоматов

Понятие конечного автомата. Его представление, виды. Способы задания конечных автоматов. Автоматы Мили. Автоматы Мура.

Перечень примерных контрольных вопросов

1. Основные понятия теории множеств: определение множества, его элементов; конечные и пустые множества. Способы задания множеств.

2. Операции над множествами.

3. Свойства пересечения и объединения множеств.

4. Высказывания. Логические связки (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция)

5. Понятие формулы в логике высказываний. Тождественно истинные, тождественно ложные, выполнимые и опровержимые формулы.

6. Формулы основных равносильностей в логике высказываний (с доказательством любого на выбор).

7. Булевы функции: основные понятия. Теорема о числе булевых функций (с объяснением).

8. Дизъюнктивные нормальные формы.

9. Конъюнктивные нормальные формы.

10. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы. Теорема о представлении булевых функций в виде дизъюнкции конституент единицы (с доказательством).

11. Совершенные конъюнктивные нормальные формы. Теорема о представлении булевых функций в виде конъюнкции конституент единицы (с доказательством).

12. Минимизация булевых функций: Карты Карно.

13. Представление булевых функций релейно-конткатными схемами. Понятие функции проводимости. Коммутационные схемы.

14. Предикаты: основные определения. Операции над предикатами.

15. Кванторы.

16. Основные понятия теории графов: неориентированные и ориентированные графы. Понятия смежности, инцидентности. Изолированные вершины.

17. Степень вершин графа, орграфа. Теоремы Эйлера о степенях.

18. Способы задания неориентированных графов.

19. Способы задания ориентированных графов.

20. Отношения: виды, свойства.

21. Комбинаторика: размещения (с повторениями и без).

22. Комбинаторика: сочетания (с повторениями и без).

23. Свойства сочетаний без повторений (с доказательством).

24. Биномиальная и полиномиальная формулы.

25. Разбиения.

26. Формула включений и исключений.

27. Элементы теории кодирования: основные понятия, типы кодов

28. Конечные автоматы: понятие, примеры, принцип работы. Входная и выходная последовательности автомата.

29. Конечные автоматы: описание автомата, виды автоматов.