Задачи / 3семестр,ДЗ / Дз№1_третий семестр / Вар8

Исходная цепь содержит 9 ветвей, в нашу задачу входит расчет токов в каждой ветви

данной цепи.

R2=150 Ом R3=110 Ом R4=130 Ом R5=110 Ом R7=150 Ом R8=110 Ом R9=270 Ом R10=180 Ом J1=0.3 А E4=5.6 В E9=20 В E10=-12 В

1. Расчет методом контурных токов

Расставим все контурные токи в данной цепи. Для этого необходимо построить граф, выбрать дерево и направления контурных токов (в соответствии с направлениями токов в хордах дерева).

I₂₂

Исходя из направлений контурных токов, составим 4 уравнения. Неизвестными в уравнениях будут именно контурные токи I₂₂, I₄₄, I₉₉, I₁₀₁₀, которые в свою очередь равны токам в хордах цепи I₂, I₄, I₉ и I₁₀ соответственно.

1. I₂₂(R₅+R₂+R₃+R₇) – I₄₄(R₅+R₇)+ I₉₉R₃ +I₁₀₁₀R₇= -J₁(R₇+R₅)

2. I₂₂(R₅+R₇) + I₄₄(R₄+R₇+R₅+R₈) - I₉₉R₈ + I₁₀₁₀(R₇+R₈ )= E₄ – J₁(R₅+R₈)

3. I₂₂R₃ – I₄₄R₈ + I₉₉(R₃+R₈+R₉) – I₁₀₁₀R₈ = E₉

4. I₂₂R₇ + I₄₄(R₇+R₈) – I₉₉R₈ + I₁₀₁₀(R₇+R₈+R₁₀) = - J₁R₇ + E₇

Эти же уравнения можно записать в матричной форме:

* =

Где I₁₁=I₂₂, I₂₂=I₄₄, I₃₃=I₉₉, I₄₄=I₁₀₁₀, E₁₁= -J₁(R₇+R₅), E₂₂= E₄ – J₁ (R₅+R₈), E₃₃= E₉, E₄₄=E₇ - J₁R₇, R₁₁= R₅+R₂+R₃+R₇, R₁₂= R₂₁=-R₃, R₂₂= R₄+R₇+R₅+R₈, R₃₃= R₃+R₈+R₉, R₄₄= =R₇+R₈+R₁₀, и так далее по уравнениям.

Получим матричное уравнение в виде:

*=.

Решаем данную систему из четырех уравнений методом Крамера. В матрицу сопротивлений ставим вместо первого столбца вектор-столбец ЭДС – таким образом получим новую матрицу (B1). Проделаем ту же операцию с остальными столбцами – получим еще 3 новые матрицы (B2, B3, B4).

Зная токи всех хорд:

I₂₂=-0,1236 А;

I₂₂=I₄₄=-0,0444 А;

I₃₃=I₉₉=-0,0475 А;

I₄₄=I₁₀₁₀=0,0493 А,

мы можем найти значения всех токов по первому закону Кирхгофа.

I₅ = - I₄ – J₁ – I₂ = - 0,1319 (A)

I₃ = I₂+I₉ = -0,0761 (A)

I₇ = J₁+I₃+I₈=0,0827 (A)

I₈ = I₁₀ - I₉ + I₄ =-0,1412(A).

Проверим по первому закону Кирхгофа четвертый узел. Так как входящие и выходящие из него токи мы рассчитывали независимо, то мы по результату можем судить о правильности решения.

I₁₀ = I₇+I₅

Для третьего узла закон соблюдается.

2. Расчет методом узловых потенциалов.

В данном методе не нужно составлять граф и выбирать дерево, что существенным образом облегчает нашу задачу. Необходимо заземлить один из узлов (пусть им будет пятый) и составить систему уравнений для оставшихся.

После заземления потенциал пятого узла стал равен нулю. Составим матрицу проводимостей:

, где проводимости, находящиеся на главной диагонали, равны сумме проводимостей подходящих к данному узлу ветвей. (Например, G₃₃ = G₃+G₇+G₈) Остальные же элементы матрицы равны проводимостям между узлами, взятыми со знаком минус. (Например, G₂₃ = G₃₂ = G₃ =1/R₃).

Составим вектор-столбец токов, подходящих к узлам. В общем виде он будет выглядеть следующим образом:

, где J₁₁, J₂₂, J₃₃, J₄₄ – токи, подходящие к соответствующим узлам.

В окончательном варианте получим матричное уравнение:

*=, из которого уже легко получить описанным выше способом величины потенциалов.

₁= -11,3779 В

₂ = 7,1658 В

₃ = 15,5357 В

₄ = 3,1343 В

Зная величины потенциалов, можно найти токи во всех цепях по второму правилу Кирхгофа.

,

,

,

,

, ,

, ,

.

Токи во всех ветвях, рассчитанные по методам контурных токов и узловых потенциалов совпали.

Проверим правильность наших рассуждений при помощи уравнения баланса мощностей.

Мощности совпадают.

Для построения потенциальной диаграммы выберем контур: от узла 5 через узлы 2 →  3→ 5→ 4→1→5. Получим замкнутый контур, содержащий все три источника ЭДС. В тех ветвях, которые содержат сопротивление и источник ЭДС, промежуточные потенциалы посчитаем по второму закону Кирхгофа. (Точка с потенциалом 20 Вольт в девятой ветви, с потенциалом 12 Вольт – в десятой, и с потенциалом -5,6 Вольт – в четвертой).

Потенциальная диаграмма показана ниже: