Задачи / 3семестр,ДЗ / Дз№1_третий семестр / Вар9

Исходная цепь содержит 9 ветвей, в нашу задачу входит расчет токов в каждой ветви

данной цепи.

R1=270 Ом R2=180 Ом R3=150 Ом R4=75 Ом R6=100 Ом R7=270 Ом R8=220 Ом R9=220 Ом R10=110 Ом J4=0.4 А E7=5.6 В E9=12 В

1. Расчет методом контурных токов

Расставим все контурные токи в данной цепи. Для этого необходимо построить граф, выбрать дерево и направления контурных токов (в соответствии с направлениями токов в хордах дерева).

J₄

I₁ I₄₄

I₁₁

₁ I₂ I₃ 3 I₈ 5

²

I₆₆ I₇ I₁₀₁₀

I₆ I₁₀

4

I₉₉ I₉

Исходя из направлений контурных токов, составим 4 уравнения. Неизвестными в уравнениях будут именно контурные токи I₁₁, I₆₆, I₉₉, I₁₀₁₀, которые в свою очередь равны токам в хордах цепи I₁, I₆, I₉ и I₁₀ соответственно.

1. I₁₁(R₁+R₂+R₃) - I₆₆R₃ - I₉₉R₃ = -J₄(R₂+R₃)

2. – I₁₁R₃ + I₆₆(R₆+R₇+R₃) + I₉₉R₃ - I₁₀₁₀R₇ = E₇+J₄R₃

3. – I₁₁R₃ + I₆₆R₃ + I₉₉(R₃+R₈+R₉) + I₁₀₁₀R₈ = E₉+J₄(R₃+R₈)

4. – I₆₆R₇ + I₉₉R₈ + I₁₀₁₀(R₇+R₈+R₁₀) = J₄R₈ - E₇

Эти же уравнения можно записать в матричной форме:

* =

Где I₁₁=I₁₁, I₂₂=I₆₆, I₃₃=I₉₉, I₄₄=I₁₀₁₀, E₁₁= -J₄(R₂+R₃), E₂₂= E₇+J₄R₃, E₃₃= E₉+J₄(R₃+R₈), E₄₄= J₄R₈ – E₇, R11= R₁+R₂+R₃, R₁₂= R₂₁= - R₃, R₂₂ = R₆+R₇+R₃, R₃₃= R₃+R₈+R₉, R₄₄=R₇+R₈+R₁₀, и так далее по уравнениям.

Получим матричное уравнение в виде:

*=.

Решаем данную систему из четырех уравнений методом Крамера. В матрицу сопротивлений ставим вместо первого столбца вектор-столбец ЭДС – таким образом получим новую матрицу (B1). Проделаем ту же операцию с остальными столбцами – получим еще 3 новые матрицы (B2, B3, B4).

Зная токи всех хорд:

I₁₁=-0,1551 А;

I₂₂=I₆₆=0,0988 А;

I₃₃=I₉₉=0,1608 А;

I₄₄=I₁₀₁₀=0,1228 А,

мы можем найти значения всех токов по первому закону Кирхгофа.

I₂ = - I₁ – J₄ = 0.1551-0.4 = -0.2449 (A)

I₃ = I₂+I₆+I₉ = 0.2449+0.0988+0.1608 = 0.0147 (A)

I₇ = I₆ - I₁₀ = 0.0988-0.1228 = -0.024 (A)

I₈ = I₁₀+I₉ – J₄ = 0.1228+0.1608 – 0.4 = -0.1164 (A).

Проверим по первому закону Кирхгофа третий узел. Так как входящие и выходящие из него токи мы рассчитывали независимо, то мы по результату можем судить о правильности решения.

I₃+I₁ = I₇+I₈

-0.1404 = -0.1404. Для третьего узла закон соблюдается.

2. Расчет методом узловых потенциалов.

В данном методе не нужно составлять граф и выбирать дерево, что существенным образом облегчает нашу задачу. Необходимо заземлить один из узлов (пусть им будет пятый) и составить систему уравнений для оставшихся.

После заземления потенциал пятого узла стал равен нулю. Составим матрицу проводимостей:

, где проводимости, находящиеся на главной диагонали, равны сумме проводимостей подходящих к данному узлу ветвей. (Например, G₃₃ = G₁+G₃+G₇+G₈) Остальные же элементы матрицы равны проводимостям между узлами, взятыми со знаком минус. (Например, G₂₃ = G₃₂ = G₃ =1/R₃).

Составим вектор-столбец токов, подходящих к узлам. В общем виде он будет выглядеть следующим образом:

, где J₁₁, J₂₂, J₃₃, J₄₄ – токи, подходящие к соответствующим узлам.

В окончательном варианте получим матричное уравнение:

*=, из которого уже легко получить описанным выше способом величины потенциалов.

₁= - 67,4704 В

₂ = -23,3870 В

₃ = -25,5955 В

₄ = -13,5088 В

Зная величины потенциалов, можно найти токи во всех цепях по второму правилу Кирхгофа.

,

,

,

,

, ,

, ,

.

Токи во всех ветвях, рассчитанные по методам контурных токов и узловых потенциалов совпали.

Проверим правильность наших рассуждений при помощи уравнения баланса мощностей.

(Вт)

^(Вт)

С точностью до погрешности тока мощности совпадают.

Для построения потенциальной диаграммы выберем контур: от узла 5 через узлы 2 → 1→ 3→ 4→ 5. Получим замкнутый контур, содержащий 2 источника ЭДС. В тех ветвях, которые содержат сопротивление и источник ЭДС, промежуточные потенциалы посчитаем по второму закону Кирхгофа. (Точка с потенциалом 12 Вольт в девятой ветви, с потенциалом -19,1 Вольт – в седьмой).

Потенциальная диаграмма показана ниже: