Лекции / Лекции (3 семестр) / Лекция 04

Лекция 04.

Цель лекции - объединить свойства элементов и их топологию.

Стандартная ветвь цепи.

Стандартная ветвь цепи содержит все независимые источники энергии и некий элемент (сопротивление, индуктивность или емкость). Рассмотрим ветвь цепи.

На рисунке: - ток, протекающий через нашу ветвь, - ток, протекающий через элемент, содержащийся в ветви. - падение напряжения на элементе ветви. Будем рассматривать также и падение напряжения на всей ветви, оно будет направлено в ту же сторону, что и . Однако чтобы не писать два раза букву , поставим этому напряжению величину ЭДС , отличающуюся от напряжения только направлением (знаком). Запишем закон Ома для элемента ветви:

.

Если у нас k ветвей, то мы можем сказать, что закон Ома будет выполняться для всех ветвей в матричном виде:

,

где

• - вектор-столбец напряжений на элементах стандартной ветви;

• - вектор-столбец токов, протекающих через элементы стандартной ветви;

• - матрица параметров цепи (для постоянных токов – диагональная, для остальных она может быть недиагональная).

Запишем законы Кирхгофа:

,

.

Или в матричной форме:

,

,

где

• - вектор столбец ЭДС стандартных ветвей;

• - вектор столбец независимых источников ЭДС, входящих в стандартные ветви;

• - вектор-столбец токов, протекающих через стандартные ветви;

• - вектор-столбец независимых источников токов, входящих в стандартные ветви.

Рассчитаем цепь, воспользовавшись законами Кирхгофа. Возьмем уравнение

.

Вспоминаем, что

.

Тогда из этих уравнений получим:

.

Привяжем наши выкладки к топологии: умножим на транспонированную матрицу контуров, чтобы соблюсти коммутативность умножения:

,

последнее слагаемое равно нулю: это второй закон Кирхгофа, по свойству матрицы контуров. Итак, если у нас есть матричное уравнение, проверяем его полноту. Неизвестны токи во всех ветвях, их количество . Транспонированная матрица контуров дает количество независимых контуров, значит наша система является неполной. Вспоминаем:

,

после его подстановки в полученное уравнение, получим:

,

однако сократить на нельзя, так как нарушится второй закон Кирхгофа (потеряем ). Количество уравнений осталось прежним, а неизвестными теперь являются токи хорд (а их количество равно количеству независимых контуров) – система стала полной:

.

Теперь мы можем найти и все остальные неизвестные:

.

Таким образом, с помощью данной системы матричных уравнений мы можем посчитать нашу схему.

Однако данный метод расчета не единственный. Рассмотрим еще один метод:

,

с другой стороны,

.

Тогда из этих уравнений имеем:

.

Помножив это уравнение на , получим в правой части первый закон Кирхгофа: как и в предыдущем методе, мы убираем ненужные нам элементы с помощью топологии:

.

Аналогично, на сокращать нельзя.

Количество уравнений дает количество фазовых сечений, значит количество неизвестных равно количеству ЭДС на всех стандартных ветвях: опять получаем неполную систему. Тогда c учетом соотношения:

,

где - ЭДС ветвей дерева, переходим к полной системе: каждое базисное сечение будет образовано одной ветвью дерева, т.е. в этом случае количество уравнений будет равно количеству неизвестных. Получаем:

,

отсюда

.

Теперь можем найти ЭДС всех ветвей:

,

а также напряжения и токи:

,

,

.

Универсальная стандартная ветвь.

Универсальная стандартная ветвь нужна для того, чтобы учесть все зависимые источники энергии.

Пусть - номер рассматриваемой ветви, тогда

• - источник ЭДС, расположенный в ветви, управляемый током, протекающим через элемент в ветви;

• - источник ЭДС, расположенный в ветви, управляемый напряжением элемента, расположенным в ветви;

• - источник тока, расположенный в ветви, управляемый напряжением на элементе в ветви;

• - источник тока, расположенный в ветви, управляемый током, протекающим через элемент в ветви.

Запишем первый и второй законы Кирхгофа:

,

.

Закон Ома:

,

или то же самое в матричной форме для всех ветвей схемы:

,

,

.

Здесь - диагональные матрицы, описывающие зависимые источники энергии. На главной диагонали этих матриц, очевидно, лежат нули. Если в -й ветви присутствует источник ЭДС, управляемый током в -той ветви, то на пересечении -й строки и -ого столбца лежит элемент . Остальные матрицы определяются аналогично. Решим теперь нашу систему относительно токов через элементы универсальной стандартной ветви:

,

.

Из первого уравнения находим :

.

Подставим во второе:

.

Отметим, что матрицы , , являются квадратными, их элементы имеют размерность Ом. , , - квадратные безразмерные матрицы. Значит и произведение этих матриц – квадратная матрица, элементы которой имеют размерность Ом. Введем следующее обозначение:

,

это матрица параметров с учетом управляемых источников тока и напряжения. Тогда:

.

Домножаем на , получаем:

,

последнее слагаемое равно нулю по 2 закону Кирхгофа. Производим замену базиса:

.

Подставив в уравнение, получаем:

,

.

Получили решения уравнения, когда есть зависимые источники. Посмотрим, сводится ли это решение к предыдущему случаю, когда у нас не было зависимых источников энергии. Рассмотрим матрицу . При отсутствии зависимых источников:

,

из всей суммы матриц остается только матрица , значит и в более простом случае наши рассуждения справедливы.

Теперь, зная токи хорд, можем найти остальные параметры:

.

Теперь решим цепь относительно напряжений на элементах стандартных ветвей:

,

.

Из другого уравнения получим:

.

Подставляя первое полученное уравнение во второе, получим:

.

Аналогично предыдущему случаю, вводим следующее обозначение:

,

где - квадратная матрица, элементы которой имеют размерность См (размерность проводимости). Тогда наше решение приобретает вид:

.

Домножение на даст нам в правой части первый закон Кирхгофа:

.

Меняем базис:

Решаем относительно :

.

Аналогично предыдущему случаю, если отсутствуют зависимые токи, то - предельный переход к частному случаю также выполняется.

Теперь опять же можем найти остальные параметры:

,

,

.

Матрица находится через третье или четвертое уравнение. Универсальная стандартная ветвь позволяет посчитать цепь, содержащую еще и зависимые источники энергии.

Методы расчета цепей на постоянном токе.

Метод контурных токов.

Сначала выбираем произвольно направления токов в контурах. Так как оно будет условным, то исходя из полученного в дальнейшем знака, мы будем судить о направлении тока. Отталкиваться будем от законов Кирхгофа. Для нашего примера (см. рисунок) первый закон Кирхгофа имеет вид:

.

Выбираем дерево, которое включает в себя максимальное количество ветвей без источников тока. Пусть это будут ветви, содержащие . Запишем второй закон Кирхгофа для выбранных контуров:

Законы Кирхгофа дают полную систему уравнений имеющую максимальную размерность. Конкретные методы позволяют уменьшить размерность системы.

В данном случае мы возьмем токи из первого закона Кирхгофа и подставим их в уравнения из второго закона Кирхгофа. Получим:

Систему уравнений мы можем трактовать следующим образом. Через каждый элемент протекает некий контурный ток: . Значит падение напряжения на элементе обусловлено протеканием через него всех контурных токов, причем напряжение от собственного контурного тока всегда берется со знаком плюс. Падения напряжений от остальных контурных токов берутся со знаком плюс, если направления контурных токов совпадает с направлением рассматриваемого тока, и в обратном случае с минусом. Естественно, полученная матрица сопротивлений симметрична относительно главной диагонали.

6