Лекции / Лекции (3 семестр) / Лекция 09

Лекция 09.

Продолжаем подсчет баланса мощностей. Обратим внимание, что полярности на источниках мы ставили так, чтобы ток протекал от минуса к плюсу, тогда в левой части баланса мощностей, в которой записывается:

,

все слагаемые в суммах будут входить со знаком «плюс». Итак, ищем полную мощность источников:

.

.

.

Итого,

.

Теперь правая часть баланса мощностей:

.

Здесь - действующее значение, никаких комплексных чисел в правой части в отношении токов не ставится! Итого:

.

Баланс комплексных мощностей сошелся. Пусть теперь нужно найти токи и напряжения в схеме. Рассчитаем один ток, все остальное точно так же.

Итак, найдем ток . Приведем к показательной форме:

,

тогда

,

здесь мы не забыли еще умножить на , поскольку - действующее значение, а для гармонических составляющих мы должны писать амплитуду.

Отметим еще, что для комплексных величин справедливы все ранее пройденные методы: МКТ, МУП, наложение, эквивалентный генератор. Только символический метод справедлив лишь для линейных цепей.

Резонанс и частотные свойства цепей.

Вопрос: как будут соотноситься ток и напряжение в данной цепи? Ток будет опережать или отставать от напряжения?

Ответ: в зависимости от элементов.

Даже если возьмем достаточно простую цепь, нельзя точно сказать, носит цепь активный индуктивный или активный емкостной характер.

Резонансом называется явление совпадения по фазе тока и напряжения в выделенном участке цепи, содержащем реактивный элемент.

Если мы нарисуем цепь, содержащую одно активное сопротивление, то, несмотря на совпадение по фазе тока и напряжения, никакого резонанса наблюдаться не будет. Итак, ток может отставать от напряжения, может опережать напряжение, а в точке резонанса ток и напряжение по фазе будут совпадать.

Резонанс напряжений (резонанс в последовательном контуре).

Модуль тока:

.

Сдвиг фаз между током и напряжением:

.

Исходя из общего определения резонанса, получаем, что для точки резонанса должно быть

.

Это достигается в том случае, когда

.

Из этой формулы можно найти резонансную частоту, а еще можно сказать о том, как достигнуть точку резонанса:

1 способ: меняя частоту;

2 способ: меняя индуктивность цепи;

3 способ: меняя емкость цепи;

Посмотрим теперь, как соотносятся реактивные сопротивления:

,

последний корень называется волновым или характеристическим сопротивлением. Посмотрим на физический смысл волнового сопротивления. Для напряжения на индуктивности имеем:

- добротность контура.

Добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на реактивном элементе больше напряжения на активном элементе.

Если , то получается, что напряжение на индуктивности и напряжение на емкости превосходят напряжение на сопротивлении. Построим векторную диаграмму (см. справа). Вектор совпадает по фазе с . Поскольку , величина - входному напряжению. Получается, что напряжения на емкости и индуктивности превосходят входное напряжение при высоких значениях добротности ( может принимать значения порядка десятков и сотен).

Дело в том, что мы рассматриваем установившийся режим. За счет переходного процесса обеспечивается энергия, которая запасается в электрическом и магнитном полях. Таким образом, следующие показания:

возможны, за счет переходного процесса. Общее напряжение (как и входное) , поскольку . При других (нерезонансных) частотах получим уже другую диаграмму (см. рисунок справа).

Существует еще одна величина, определяющая характеристики последовательного контура:

- затухание контура.

Посмотрим, что происходит с энергией (мощности на индуктивности и емкости):

.

.

Происходит постоянный обмен энергией между магнитным и электрическим полем (между катушкой и емкостью). В любой момент времени

.

Резонанс и частотные свойства.

Под частотным свойствами понимается зависимость от частоты следующих характеристик:

, , , , , , , , (могут быть , , ).

Причем зависимость от частоты величин

, ,

и графики этих зависимостей называются резонансными кривыми.

.

.

,

у этой функции два полюса: ноль и бесконечность, и один ноль: . При асимптота - , при асимптота - .

Очевидно, эта функция начинается (при ) и заканчивается (при ) в бесконечности. В точке значение , т.е. .

.

Построим зависимость . В наших терминах,

.

Поскольку зависимость начинается и оканчивается в бесконечности, функция будет начинаться и оканчиваться в нуле и будет иметь максимум .

Рассмотрим зависимость . Имеем:

.

Рассмотрим два случая:

1. - контур без потерь, тогда

,

т.е. функция будет иметь 2 нуля и один полюс .

2. , тогда

.

Пунктиром на графике изобразим асимптоты – предельный случай, рассмотренный ранее. Очевидно, функция начинается и оканчивается в нуле. В точке резонанса , т.е. . В итоге получаем график, изображенный справа.

Замечание: Для цепей без потерь - всегда.

Действительно, для нашей цепи имеем:

.

Возвращаемся к частотным характеристикам.

.

Поскольку начинается в , оканчивается в , будет меняться от до . В точке резонанса значение функции = 0. Посмотрим теперь значения асимптот для нашей зависимости. Если , - чисто емкостной характер, ток не протекает, т.е. функция начинается из . - асимптота, поскольку это значение достигается на . Отметим, что чем выше добротность контура, тем резонансная кривая будет круче.

Рассмотрим предельный случай: - цепь без потерь. Тогда до частоты резонанса у нас будет емкостное сопротивление, в точке резонанса – скачок до .

Предполагается, что входное напряжение поддерживается постоянным и не зависит от частоты, тогда

.

В числителе постоянная величина, характеристику для уже получили, тогда получим зависимость . Эта зависимость начинается и оканчивается в нуле и имеет максимум при .

,

т.е. это будет тот же график, что и для , только с коэффициентом . В точке резонанса напряжение на сопротивлении равно входному напряжению (об этом мы уже говорили).

.

Попробуем построить эту кривую качественно. Разобьем график на два интервала: от 0 до и от до . На первом интервале кривая тока увеличивается, на этом интервале также увеличивается, т.е. для получаем возрастающую функцию. На втором интервале кривая тока уходит в ноль, а - неопределенность. Раскроем эту неопределенность, исходя из физических соображений. При получим:

,

поскольку , , конечным сопротивлением можем пренебречь, тогда , , т.е. характер цепи становится чисто индуктивным, становится равным входному напряжению.

.

Поступим здесь с точностью до наоборот, как для . Разбиваем на те же два интервала, только начинать будем не из 0, а из . В точке резонанса , поэтому . Неопределенность в нуле раскрываем точно так же, как и для индуктивности: здесь все напряжение цепи оказывается приложенным к емкости. С ростом добротности происходит сближение максимумов и и возрастание максимальных значений (на нашем графике изображен случай - напряжения на индуктивности и емкости превышают входное напряжение).

Резонанс токов (резонанс в параллельном контуре).

Уже говорили о том, что для проводимости:

.

,

потому что отношение мнимой к действительной части сопротивления дает нам угол сдвига фаз между током и напряжением. Для проводимости отношение действительной и мнимой части даст нам угол сдвига фаз между напряжением и током. Чтобы получить угол сдвига фаз между током и напряжением, нужно поменять знак. Тогда если мы хотим, чтобы для входных тока и напряжения совпадал угол сдвига фаз, то

.

Мы получили две совпадающие резонансные частоты для параллельного и последовательного контура. Это ни о чем не говорит! Резонансная частота может быть любой для конкретной задачи. Ее нужно определять из условия совпадения тока и напряжения по фазе! Т.е. мнимое значение либо сопротивления, либо проводимости есть ноль.

- волновая проводимость.

Добротность контура – это отношение тока, протекающий через реактивный элемент, к току, протекающему через активный элемент:

.

Т.е. добротность контура равна отношению волновой проводимости и активной проводимости.

Теперь займемся построением частотных характеристик. Активная проводимость не зависит от частоты, . Все характеристики строим точно так же, как и в случае последовательного контура.

,

характеристика идет из в и имеет минимум в точке резонанса.

,

т.е. - зависит от частоты.

:

1. цепь без потерь, .

.

Понятно, что асимптота будет при . Пунктиром показан график, который мы бы получили, взяв .

2. 

,

Абсолютно аналогично последовательному контуру, получаем график, изображенный на рисунке справа.

Рассмотрим зависимость сдвига фаз от частоты:

.

Характер цепи при – чисто индуктивный. Наша характеристика будет начинаться из (еще и поэтому нужно было брать ). С увеличением добротности кривая становится все более резкой. Для цепи без потерь (при ) получим график, аналогичный случаю с последовательным контуром: в точке резонанса меняется скачком.

Теперь рассмотрим резонансные кривые. Будем поддерживать постоянным входной ток. Тогда

,

здесь все то же самое: на промежутке от до имеем произведение двух возрастающих функций. На бесконечности емкость представляет из себя закоротку, весь входной ток будет протекать через емкость, .

,

начинаем опять из , переходим к ; затем, при , индуктивность представляет из себя закоротку, весь ток будет протекать через индуктивность, .

7