Лекции / Лекции (3 семестр) / Лекция 10

Лекция 10

Пример: Определить частоту резонанса.

Ветки в данной схеме параллельны, имеет смысл анализировать проводимость:

В точке резонанса реактивная составляющая должна отсутствовать. Отсюда условие резонанса:

- резонансная частота.

Проанализируем это выражение:

1. - резонанс невозможен, так как получаем мнимую частоту.

2. ; - уже знакомая нам формула.

3. - неопределенность . Чтобы раскрыть эту неопределенность, попробуем рассмотреть сопротивления:

,

таким образом, при резонанс будет наблюдаться на любой частоте.

Пассивные двухполюсники без потерь.

Пассивным двухполюсником без потерь называется такой двухполюсник, который образован сочетанием L и С элементов (все активные сопротивления во всех контурах равны нулю).

Утверждение: Входное сопротивление пассивного двухполюсника без потерь носит чисто реактивный характер.

Доказательство:

Составим для нашего двухполюсника уравнения по МКТ и решим систему относительно входного тока:

,

где - главный определитель системы, - алгебраическое дополнение для первого контура. Для -ого контура найдем контурное сопротивление (учтем, что в каждом контуре присутствуют только реактивные элементы):

.

Видим, что сопротивление контура будет носить либо индуктивный, либо емкостной характер, в зависимости от частоты и параметров элементов цепи. Тогда

,

из каждого слагаемого в определителе выносим множитель , тогда если цепь имеет контуров, получим:

.

Поскольку элементы определителей и являются действительными числами, тогда входное сопротивление двухполюсника без потерь носит чисто реактивный характер.

Утверждение доказано.

Итак, мы получили, что

,

но каждый элемент наших определителей содержит квадрат частоты «минус» какую-то величину, значит эти определители будут разлагаться по квадратам частот, кроме того, полиномы будут образовывать знакочередующийся ряд (без доказательства):

Нечетные являются нулями функции, четные являются полюсами функции. Было у нас такое утверждение:

,

т.е. характеристика реактивного сопротивления двухполюсника без потерь всегда возрастающая, тогда нули и полюса должны чередоваться. Запишем некоторые общие положения, а затем проанализируем возможные характеристики:

1. Полиномы числителя и знаменатель содержат степени, в которых различается на две единицы. Разница в старшем и младшем показателе равна 1.

2. Если , то степень полинома числителя выше степени полинома знаменателя.

3. Если , то степень полинома знаменателя на единицу выше степени полинома числителя.

Посмотрим теперь на зависимость . Мы знаем, что для чисто реактивной цепи , и в точке резонанса частота будет изменяться скачком. Тогда характеристика будет иметь следующий вид (см. рисунок).

Теперь рассмотрим четыре возможных типа характеристик в зависимости от сочетания нулей и полюсов.

1. Характеристика типа 0 – 0.

Рассмотрим цепь, изображенную на рисунке справа (верхний): два параллельных контура, соединенных последовательно. Вспоминаем характеристику для параллельного контура на резонансе (средний рисунок):

.

Для последовательного контура на резонансе была получена следующая характеристика (нижний рисунок):

.

На малых частотах параллельный контур будет носить индуктивный характер. Т.е. два параллельных контура на малых частотах мы можем заменить индуктивностью: .

Если начнем рисовать входное сопротивление, то характеристика будет исходить из нуля. С ростом частоты сопротивление будет возрастать, но не линейно, поскольку в цепи содержится емкость. Характеристика контура является возрастающий до того момента, пока не наступит резонанс в одном из контуров (например, в первом), тогда характер первого контура меняется на емкостной. У нас образовался контур, который представляет собой последовательное соединение индуктивности и емкости. .

На малых частотах характеристика этого контура имеет емкостной характер, его сопротивление начинается из и возрастает до того момента, пока не наступит резонанс между эквивалентной емкостью и эквивалентной индуктивностью (ноль функции). После этого характер контура меняется на индуктивный, и с ростом частоты возрастает и стремится к , до того момента, пока не наступит резонанс во втором контуре. После этого характер второго контура меняется на емкостной: , значит характеристика начинается из и стремится к нулю.

Итак, эта характеристика начинается из нуля, заканчивается в нуле, поэтому она и получила именование 0 – 0.

2. Характеристика 0-Полюс.

На малых частотах мы имеем параллельный контур, характер этого контура индуктивный, сопротивление контура стремится к нулю. С ростом частоты сопротивление возрастает, но нелинейно (присутствует емкость), и стремится к бесконечности. После наступления резонанса в параллельном контуре (сопротивление = ) характеристика контура меняет свой характер на емкостной. Характеристика последовательного контура на малых частотах имеет емкостной характер: начинается в и стремится к нулю, достигая его в точке, которая соответствует резонансу между исходной индуктивностью и эквивалентной емкостью, после чего характеристика этого контура меняет свой характер на индуктивный и стремится с ростом частоты к бесконечности.

3. Характеристика Полюс – 0

На малых частотах параллельный контур будет иметь индуктивный характер. Если у нас два последовательных элемента – емкость и индуктивность , то характеристика имеет емкостной характер и начинается из , достигает нуля в точке, которая соответствует резонансу между исходной емкостью и эквивалентной индуктивностью для параллельного контура. После этого характеристика приобретает индуктивный характер и стремится в бесконечность, которая достигается в точке резонанса в контуре. После этого характеристика становится емкостной: начинается из и имеет асимптотой ноль.

4. Характеристика Полюс- Полюс.

Последовательная цепочка на малых частотах будет иметь емкостной характер. Начинается из и возрастает до нуля, который определяется резонансом в одной из параллельных ветвей. После этого характер меняется на индуктивный. Характеристика параллельного контура на малых частотах будет иметь индуктивных характер, характеристика возрастает с ростом частоты и стремится к бесконечности, которая определяется резонансом между эквивалентными индуктивностью и емкостью. После этого характер контура изменяется на емкостной: характеристика начинается в и стремится к нулю, который достигается в момент резонанса во второй ветви. После этого вторая ветвь меняет свой характер на индуктивный: с ростом частоты характеристика возрастает на бесконечность.

Еще одно применение двухполюсников без потерь – синтез. Если при синтезе двухполюсников получилось, что нужно собрать цепь, у которой степени полинома числителя и знаменателя содержат только четные, а у другого только нечетные степени, и старшие степени полиномов числителя и знаменателя различаются на 1, то можно считать, что нужно синтезировать пассивный двухполюсник, что существенно сужает класс синтезируемых цепей.

Расчет линейных электрических цепей при периодических несинусоидальных токах и напряжениях.

Несинусоидальные токи и напряжения представляют из себя следующее: есть основной синус, и есть гармоники (искажения). В зависимости от постановки задачи, к искажениям относятся по-разному. Иногда искажения не играют роли, иногда с ними борются, иногда на них построен принцип работы.

Условие Дирихле:

Если за полный период функция имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, то такая функция может быть разложена в ряд Фурье.

Нам достаточно того, что ограниченная функция попадает под это условие, а все токи и напряжения являются ограниченными функциями. Разложение функции в ряд Фурье имеет вид:

,

причем при - постоянный ток, при - основная гармоника, ее частота совпадает с частотой нашего периодического несинусоидального воздействия. Если функция непериодическая, тогда и тогда получаем вместо дискретного спектра непрерывную функцию, и тогда такую функцию тоже можно разложить в ряд Фурье.

Функция зачастую записывается в следующем виде:

.

Между такими формами записи существует взаимно однозначное соответствие:

.

Получаем, что

.

Выделяют :

Коэффициенты при и имеют вид:

Посмотрим на нашу характеристику. В большинстве случаев периодическая несинусоидальная функция обладает симметрией, в связи с чем будет упрощаться вычисление коэффициентов. Рассмотрим 3 вида симметрии:

1. - симметрия относительно оси Оx. В этом случае

,

постоянная составляющая и четные коэффициенты при и равны нулю. Не зависит от выбора начальной координаты.

2. - симметрия относительно оси :

,

синусоидальные составляющие есть ноль.

3. :

,

«косинусоидальные» составляющие отсутствуют.

При симметрии относительно оси Ох (1 случай) полупериод равный есть свойство самой функции, вне зависимости от выбора начала координат. Во втором и третьем случае есть зависимость от выбора начальных координат: амплитуды не зависят от выбора начала координат, а фазы зависят. Зависимость амплитуд от частоты носит убывающий характер (на некоторых участках может и возрастать, но в результате общая характеристика все равно является падающей). Для такая зависимость отсутствует (см. рисунки).

Совокупность гармонических составляющих периодической несинусоидальной функции называется ее частотным спектром. Мы рассмотрели спектр амплитуд и спектр фаз. Определяются эти спектры при помощи гармонического анализатора.

6