Лекции / Лекции (3 семестр) / Лекция 08

Лекция 8.

Измерение активной мощности.

Магнитоэлектрическая система – это магнит, пропускается ток по закрепленной катушке, на которую прикреплена стрелка. Взаимодействие электрического и магнитного полей порождает отклонение стрелки.

Электромагнитная система: есть неподвижная катушка, есть лепесток, на который посажена стрелка. Когда пропускают ток, лепесток втягивается

Электродинамическая система состоит из двух катушек: одна катушка неподвижная, другая подвижна, то есть втягивается не лепесток, а катушка, т.е. происходит взаимодействие двух катушек. Рассмотрим эту систему более подробно.

Запишем энергию магнитного поля катушки:

,

два тока изменяются по закону синуса. Тогда вращательный момент составляет:

,

ток в каждой катушке от угла поворота не зависит, поэтому можно токи вынести за знак производной. Взаимное положение катушек оказывает влияние на взаимную индукцию, поэтому будет меняться в зависимости от того, на какой угол отклонится подвижная катушка. Средний за период вращательный момент:

.

Закон Гука: .

В измерительном приборе :

,

отсюда получаем:

.

Это уравнение называется уравнением шкалы - закон измерения угла поворота стрелки.

Две катушки могут быть включены последовательно или параллельно, и использоваться как вольтметр или амперметр соответственно.

Есть еще одно хитрое включение этих двух катушек, которое изображено на рисунке. Для малых частот, таких, что

,

будет выполняться:

,

тогда:

.

Таким образом, такое включение катушек позволяет измерить активную мощность. Теперь немного о конструкции прибора. Поле подвижной катушки замыкается через воздушный зазор, который ее окружает. Приведем достоинства и недостатки воздушного зазора.

Достоинства:

1. прибор способен измерять на переменном токе;

2. высокая точность измерения;

3. непосредственное измерение активной мощности (для однофазного тока).

Недостатки:

1. влияние внешних полей: если они есть, то они влияют на измерение;

2. отсюда вытекает низкая чувствительность из-за внешних полей;

3. неравномерность шкалы – в зависимости от втягивания катушки будет меняться М и показания будут неравномерными;

4. высокое собственное потребление энергии – так как имеется сопротивление, причем довольно большое.

Класс точности нашего прибора:

Пусть на шкале прибора присутствует следующая маркировка:

45-65-500.

Подчеркнутое – рекомендуемый диапазон частот (т.е. показания прибора считаются наиболее достоверными в данном частотном диапазоне, диапазон указан в Герцах), и класс точности относится к рекомендуемому диапазону. Второй частотный диапазон – допустимый, имеет класс точности 1. Уменьшение точности измерения происходит потому, что мы пренебрегали сопротивлением катушки, что возможно только при малых частотах. При больших частотах точность прибора будет уменьшаться, так как сопротивление катушки будет оказывать все большее влияние. То есть мы можем проводить измерения данным прибором, но вот гарантировать точность измерения нельзя.

Эквивалентные параметры пассивных двухполюсников.

Пусть есть пассивный двухполюсник, причем ток и напряжение изменяются по закону синуса:

,

где угол меняется в следующем диапазоне:

.

Тогда мы всегда можем сопоставить двухполюснику эквивалентную схему из двух элементов, одну из четырех схем замещения, приведенных ниже.

Определим при помощи измерений эквивалентные параметры пассивного двухполюсника. Пусть мы будем мерить электродинамической системой. Измерим действующие значения тока и напряжения, а также мощность. Для последовательных цепей:

,

для параллельной цепочки мы можем найти проводимость:

.

Говорим, что . Теперь, зная полное сопротивление, найдем реактивное сопротивление:

,

т.е. неясно, какой характер имеет цепь: активно-индуктивный (), или активно-емкостной (). Для определения характера цепи поступим следующим образом. Мы определили , возьмем емкость , для которого:

.

Произведя те же самые измерения на этом сопротивлении, получим, что если

• - активно-индуктивный характер цепи.

• - активно-емкостной характер цепи.

2 способ определения характера цепи.

Если в нашем распоряжении есть генератор, т.е. можно изменить частоту. Если при повышении частоты сопротивление возросло, значит характер цепи активно-индуктивный, а если уменьшилось – активно-емкостной.

Вопрос: Подключим источник постоянного тока или напряжения и скажем, что если ток протекает, то это активно-индуктивное сопротивление, если нет – активно-емкостное. Можно ли так сделать?

Ответ: Нет. Общее сопротивление схемы, изображенной на рисунке, составляет

,

очевидно, эквивалентная схема замещения носит активно-индуктивный характер, однако постоянный ток через исходный двухполюсник протекать не будет.

Переход от параллельного соединения к последовательному:

.

Переход от последовательного соединения к параллельному:

.

Переходы можно осуществить только для определенной частоты, ведь и действительная часть зависит от частоты. Поэтому нужно помнить об этом, например, при несинусоидальном токе, когда существуют несколько гармоник, каждая из которых зависит от частоты.

Треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей.

Возьмем последовательные схемы, изображенные на рисунке. Мы говорили что

.

Построим векторную диаграмму (см. рисунок). Поделим правую и левую часть на ток:

.

Мы знаем, что сопротивление - величина скалярная. Построим треугольник сопротивлений (см. рисунок). Т.е. мы перешли от векторов к отрезкам. Мы говорили, что для тех величин, которые зависят от времени, мы используем при записи точки. Тогда мы должны знать, чему соответствует данная комплексная запись, чтобы понять, что это: сопротивление или, к примеру, ток. Аналогично, для активно-емкостной цепи.

Теперь возьмем параллельное соединение и построим треугольник проводимостей. Имеем:

.

Аналогично строим векторную диаграмму и треугольник проводимостей. Учитываем, что проводимость индуктивности отрицательна, поэтому угол между и будет составлять . Поделив на , получаем треугольник проводимостей. Аналогично для активно-емкостной цепи.

Вывод: Токи и напряжения – это вектора, проводимости и сопротивления – это отрезки.

Кроме того, при помощи этих треугольников можно определить .

Соединения двухполюсников.

Последовательное соединение:

Запишем второй закон Кирхгофа:

,

получили закон Ома в комплексной форме, где , тогда и . Смотрим на мощность:

,

получаем свойство аддитивности активных мощностей. Аналогично для реактивных и комплексных мощностей:

Параллельное соединение:

В комплексном виде:

,

где и .

То же самое для комплексных мощностей:

Смешанное соединение двухполюсников.

Рассмотрим схему, изображенную на рисунке. Введем следующие обозначения:

;

;

Найдем общее сопротивление:

.

Рассмотрим построение векторной диаграммы этой цепи.

Векторная диаграмма – это совокупность токов и напряжений, построенных в соответствующем масштабе с соблюдением правил ориентации.

Так как в схеме есть неразветвленная и разветвленная часть, то начинаем всегда строить с разветвленной. Все равно, что брать за опорный вектор. Мы начнем с третьего тока. Вектор напряжения на сопротивлении совпадает по фазе с вектором тока, а вектор напряжения на конденсаторе отстает на . Вектор напряжения равен сумме этих величин (см. рисунок). Теперь нам нужно разложить вектор напряжения на сумму векторов и . Для этого сначала находим ток :

.

Затем, если вектора несимметричны, то строим полуокружность. Отметим, что искомые и в сумме должны дать исходный вектор . В данном случае вектор напряжения на индуктивности будет опережать вектор тока, поэтому разложение на сумму будет происходить в нижней полуплоскости. Вектор напряжения на должен совпадать с вектором тока и лежать на полуокружности, а вектор напряжения на индуктивности должен опережать этот ток на .

Далее видим, что , в этом случае, вектор напряжения на сопротивлении совпадает с вектором тока , а вектор напряжения на индуктивности будет опережать его на . Тогда напряжения будет равно сумме этих векторов. А результирующее напряжение .

Задача.

Дано:

Ом.

,

Найти: баланс мощностей.

Решение:

Первым делом мы должны привести временные функции к комплексным числам. Так как , то приводим к действующему значению. Получаем:

,

поскольку фаза = . Переводим в комплекс функцию тока, не забывая делить амплитуду на (действующее значение!):

.

Воспользуемся законом Ома:

, , .

Найдем напряжение на источнике тока. Воспользуемся 2 законом Кирхгофа:

,

отсюда находим:

.

Здесь действует и МКТ , МУП как для постоянного тока. В области изображений все методы, выведенные нами для постоянного тока, будут выполняться. Смотрим на токи:

7