Лекции / Лекции (3 семестр) / Лекция 06

Лекция 6.

На прошлой лекции были получены несколько уравнений для решения цепей при помощи топологии:

.

Причем последнее, полученное при помощи матрицы сечений, менее предпочтительно для решения цепей, потому что для него необходимо выбирать дерево.

Отметим еще одну особенность. Вспоминаем МКТ: некоторые особенности, связанные с тем, что в ветви содержится идеальный источник тока. Если есть ветвь, содержащая только источник ЭДС, то возникнут проблемы с МУП, потому что сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю, следовательно проводимость равна бесконечности. В этом случае, прежде чем писать уравнения, необходимо заземлить один из узлов источника ЭДС, тогда потенциал этого узла будет равен нулю, другого - и все в порядке.

Если в цепи присутствует более одного идеального источника ЭДС и они находятся в разных ветвях цепи, имеющих потенциальные связи, тогда нужно поступать следующим образом: включаем в нашу ветвь и все соседние с ней ветви по одному источнику ЭДС (см. рисунок 1). Преобразование должно быть эквивалентным, посмотрим, что изменилось:

1. суммарное сопротивление не изменилось;

2. так как все источники ЭДС одинаковы, то при переходах ничего не меняется,

таким образом, преобразование эквивалентно если источники ЭДС одинаковы, тогда выберем номиналы источников равными - напряжению на исходном источнике, тогда в рассматриваемой ветви 2 источника будут взаимно скомпенсированы, значит, мы можем объединить узлы и , тогда схема будет выглядеть следующим образом (см. рисунок 2).

Если в цепи присутствует идеальных источников ЭДС, то для источника выполняются эквивалентные преобразования, а с последней веткой мы поступаем таким же образом, как сказали в самом начале (заземляем один из узлов).

Метод эквивалентного генератора.

П

усть нужно посчитать ток, протекающий только в одной ветви, тогда всю остальную цепь считаем активным двухполюсником (она содержит нескомпенсированные источники ЭДС) (см. рисунок ). Поступим следующим образом: включаем два источника ЭДС, которые равны по величине, но противоположны по направлению. Как мы уже выяснили, это преобразование эквивалентно (см. рисунок ). Считаем, что цепь линейная, поступим следующим образом: разобьем эту схему на две, причем в первую схему будут включены все источники, входящие в наш активный двухполюсник, во второй схеме их не останется и двухполюсник станет пассивным (см. рисунки и ).

Понятно, что токи будут протекать уже другие, по принципу суперпозиции:

.

Обратимся к первой схеме:

,

понятно, что - это напряжение холостого хода активного двухполюсника, тогда выберем , тогда . Обратимся ко второй схеме:

,

где - сопротивление пассивного двухполюсника, о нем позже. Итого, суммируя наши токи по принципу суперпозиции найдем искомый результирующий ток:

.

Если мы говорим, что у нас есть пассивный двухполюсник, то мы можем определить его внутреннее сопротивление. Построим две схемы, эквивалентных нашей (средний и правый рисунки ниже):

Это у нас неидеальные источники ЭДС и тока, для которых мы можем построить график (см. рисунок). Понятно, что .

Нужно понимать разницу между током короткого замыкания и режимом короткого замыкания: если есть исходный двухполюсник, мы успешно замыкаем его выход, в этом случае активный двухполюсник выйдет из строя, потому что данный режим аварийный. Опыт короткого замыкания: ставится амперметр и увеличивается значение ЭДС до того момента, когда ток на нагрузке станет равным .

Мы говорили, что наши две схемы эквивалентны в отношении токов и мощности, которая выделяется на нагрузке, но не эквивалентны в отношении внутренних характеристик.

Поработаем далее с первой схемой. Рассмотрим КПД схемы. Мощность равна:

,

так как

,

то при подстановке получим:

Построим график зависимости мощности от сопротивления. Поскольку при напряжении равном нулю ток через нагрузку не потечет, характеристика начинается из нуля: мощность на нагрузке не выделяется.

При сопротивлении нагрузки, стремящемся к бесконечности, , получим разрыв цепи, т.е. ток через нагрузку не потечет и мощность опять же выделяться не будет. Значит на бесконечности характеристика стремится к нулю. Тогда у рассматриваемой зависимости должен быть экстремум. Найдем точку экстремума. Продифференцировав выражение для мощности, получим:

,

т.е. при от источника в нагрузку передается максимальная мощность. Подставим в выражения для мощности получим, что КПД системы равен: . Данный режим называется согласованным.

Вывод: Теоретически невозможно получить систему с КПД более 50%.

Преобразование треугольник-звезда.

Рассмотрим еще один тип эквивалентного преобразования: преобразование треугольник-звезда. Внешние параметры схемы (потенциалы и токи) должны быть одинаковы, внутренние параметры, конечно же, различны. Получим соотношение, связывающее внутренние параметры треугольника и звезды. Начнем со звезды:

,

,

.

По первому закону Кирхгофа:

.

Найдем ток

.

Аналогично можно найти остальные токи.

Теперь рассмотрим треугольник. Найдем ток :

Наше преобразование эквивалентно, т.е. справедливо для любых токов и напряжений, тогда коэффициенты при соответствующих потенциалах должны быть равны:

.

Теперь займемся обратным переходом, переходом от треугольника к звезде. В первом из полученных уравнений перейдем к сопротивлениям:

,

где . Аналогично получаем соотношения:

,

.

Теперь наша задача – выразить через параметры треугольника:

,

тогда

.

Теперь мы можем выразить параметры звезды через параметры треугольника:

.

Расчет цепей на синусоидальном токе.

Переменными называются токи и напряжения, изменяющиеся во времени.

Токи и напряжения, значения которых повторяются через определенное время, называются периодическими:

,

где Т – минимальный промежуток времени, через которое это равенство выполняется – период. Величина частотой. Величина называется циклической частотой.

Преимущество синусоидальных токов:

1. при трансформации форма токов и напряжений не меняется;

2. реакцией цепи на синусоидальное воздействие является синусоидальная функция той же частоты (доказательство этого утверждения оставим на первый семестр);

3. нет помех радиоприему.

Частными случаями периодических переменных функций являются синусоидальные функции:

,

.

Рассмотрим некоторые параметры синусоидальных функций. Очевидно, синусоидальная функция характеризуется максимальным значением , частотой и сдвигом фаз . Есть еще одна характеристика синусоидальной функции – ее действующее значение:

Теперь поясним выше сказанное, отдельно взяв интеграл под корнем:

.

ВНИМАНИЕ: Амперметр всегда показывает действующее значение.

Введем понятие среднего значения – средневыпрямленное за период значение функции.

.

Рассмотрим коэффициенты, характеризующие синусоиду:

• коэффициент амплитуды:

.

• коэффициент формы:

.

Поскольку частоты воздействия и реакции цепи одинаковы, при решении задач нас будут интересовать амплитудные значения и сдвиги фаз.

Изображение синусоидальных величин векторами и комплексными числами.

Итак, наша задача – найти амплитудные значения и начальные фазы всех токов и напряжений. Воспользовавшись непосредственно законами Кирхгофа, получим систему интегро-дифференциальных уравнений, которая решается достаточно сложно. До проведения каких-либо расчетов посмотрим, почему возникает задача представления векторов в виде комплексных чисел.

Рассмотрим следующую задачу (см. рисунок). Даны два тока:

Наша задача – найти .

Решение:

,

тогда

.

Решение достаточно простой задачи, где мы не имели дело с индуктивностями и емкостями, выглядит весьма громоздко. Поищем другой способ решения данной задачи. Заметим, что наш ток мы можем изобразить в виде вращающегося на плоскости против часовой стрелки вектора, обладающего длиной , частотой вращения и начальный угол отклонения от горизонтальной оси . Тогда проекция этого вектора на вертикальную ось как раз будет изменяться по закону (см. рисунок):

.

Тогда мы можем легко применить первый закон Кирхгофа к двум токам из нашей задачи: задача сложения токов сводится к сложению двух векторов (см. рисунок ниже). Такой подход к решению задачи допустим, потому что все три вектора (и исходные, и результирующий) будут вращаться на плоскости с одной и той же угловой частотой, взаимное расположение векторов в любой момент времени остается постоянным.

Совокупность векторов, отображающих синусоидальные токи и напряжения, построенных с учетом относительной ориентации и масштабов, называется векторной диаграммой.

Проводим аналогию с обобщенным комплексным воздействием. Рассмотрим комплексное число:

,

тогда модуль этого числа:

,

тогда мы можем записать:

,

где . Возьмем нашу синусоидальную функцию и поставим ей в соответствие комплексное число:

.

Мы знаем, что

,

т.е. эта величина определяет начальный сдвиг фаз на комплексной плоскости. Рассмотрим фактор :

.

Это единичный вектор, который определяет направление вращения вектора тока на комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью . Можно записать еще и следующим образом:

,

где - комплексная амплитуда.

Величины, зависящие от времени: токи, напряжения, значения источников ЭДС и тока изображаются на комплексной плоскости векторами и обозначаются ( с точкой). Величины не зависящие от времени (сопротивление,..), отображаются отрезками.

Если при решении задачи с помощью комплексных числе мы нашли комплексную амплитуду, то для нахождения временной функции мы обязаны помножить эту амплитуду на и взять от полученной величины мнимую часть:

.

6