Лекции / Лекции (3 семестр) / Лекция 03

Лекция 3.

Матрицы параметров цепей.

1. Матрица сопротивлений .

Если цепь имеет ветвей, то матрица сопротивлений имеет вид:

.

Строки и столбцы соответствуют номерам ветвей цепи, на главной диагонали – – собственные сопротивления ветвей, - взаимные сопротивления ветвей (их обуславливает взаимная индуктивность). Для линейных цепей . На постоянном токе - диагональная матрица, на главной диагонали – собственные сопротивления ветвей:

.

Как используется матица сопротивлений; запишем закон Ома в матричной форме:

,

где - вектор-столбец напряжений ветвей цепи, - вектор-столбец токов, протекающих через ветви цепи. При нумерации ветвей и при записи матриц и векторов всегда должно наблюдаться соответствие, т.е. если мы рассматриваем первую ветвь, то должно соответствовать напряжению на этой ветви, - ток, протекающий через эту ветвь, - сопротивление первой ветви. Матричное уравнение мы можем решить относительно токов:

,

где - матрица проводимостей. Для постоянного тока

Иногда вместо используют обозначение , вместо – . Если работаем не на постоянном токе, то нужно обращать матрицу:

.

Матрицы соединений.

Теперь обратимся к топологии цепей.

1. Матрица «контур-ветвь» ;

Этим матрицам абсолютно безразлично, какие элементы находятся в ветвях, принципиальны только параметры соединений. Запишем алгоритм формирования матрицы :

1. чертится граф-схема;

2. выбираются условно-положительные направления ветвей (токов в ветвях);

3. выбирается дерево;

4. нумеруются ветви графа, причем сначала хорды, потом ветви дерева;

5. выбираются независимые контуры; мы уже говорили о том, что чтобы гарантировать независимость контура, будем замыкать контур по ветвям дерева, число независимых контуров = числу хорд;

направление контура определяется направлением образующей его хорды;

6. записывается матрица :

Запишем для нашего примера матрицу :

Матрицы используются потому, что при таком представлении информация более удобна при представлении на компьютере. Заметим, что - блочная матрица: . Исходя из того правила, как мы формировали матрицу , - всегда единичная матрица. Мы рассматриваем независимые контура, в которые входит только одна из хорд. Поэтому все остальные элементы, кроме диагональных – нули. Единичной же она будет потому, что направление контура определяется направлением образующей его хорды. Получается, что матрица - единичная, никакой информации в себе не несет.

Свойства матрицы .

,

где - вектор-столбец ЭДС ветвей схемы. Если у нас есть ветвь, в ней – сопротивление, через которое протекает ток (см. рис), значит есть и напряжение ; но мы знаем, что напряжению всегда можно поставить в соответствие ЭДС, которая идет от минуса к плюсу (в западной литературе предпочитают понятию «напряжение» понятие «ЭДС ветви», которые, по сути, будут отличаться только знаком).

Тогда записанное выше уравнение представляет собой второй закон Кирхгофа. Но второй закон Кирхгофа может быть записан и таким образом:

,

где - вектор-столбец контурных ЭДС, т.е. алгебраическая сумма ЭДС контура. Значит, подставляя в это уравнение , получаем:

.

Обычно при расчете цепей нам нужно определить токи в ветвях. Проверим полученное уравнение на полноту: число уравнений должно быть равно числу неизвестных; если матричное уравнение не полно, то решить его и найти токи мы не сможем. В данном случае, неизвестные – токи во всех ветвях (n неизвестных), известные - , контуров у нас в данном случае 4, значит и количество уравнений = 4. Система уравнений неполная, решить ее невозможно.

Отметим еще одно свойство матрицы :

,

где - токи хорд, - токи ветвей.

Доказательство:

Подставим в старое выражение:

.

Теперь число неизвестных совпадает с числом хорд (в нашем случае 4), а значит и с числом уравнений, т.е. мы перешли от неполной системы к полной, поменяв базис.

2. Матрица контуров .

Утверждение:

Формирование – аналогично матрице контур-ветвь. Структура матрицы будет следующей:

- блочная матрица:

.

Отметим, что, как и в аналогичном случае для матрицы , .

Утверждение: , где - столбец ЭДС ветвей.

Доказательство:

- второй закон Кирхгофа.

Аналогично можно показать, что .

3. Матрица инциденций.

Наиболее распространенной из матриц инциденций является матрица узел-ветвь .

Правило формирования:

1. чертится граф-схема;

2. выбираются условно-положительные направления ветвей (токов в ветвях);

3. нумеруются ветви графа;

4. нумеруются узлы графа;

5. записывается матрица :

Особенность данной матрицы заключается в том, что не нужно выбирать дерево, что значительно упрощает решение поставленной задачи на машине.

Если смотреть на граф, то в общем случае может быть выбран и такой контур: , у которого начало и конец совпадают, он называется собственным контуром. Но реальные цепи не содержат собственных контуров, т.е. начало и конец ветви не совпадают: ветвь начинается на одном узле, заканчивается на другом. А если так, то у ветки всего 2 узла, а это гарантирует нам, что сумма всех значений по любому столбце есть ноль. Значит, матрица избыточна, одну любую строку можно вычеркнуть.

Такая матрица, полученная из вычеркиванием любой строки, называется редуцированной матрицей инциденции; поскольку мы в основном будет работать именно с этой матрицей, назовем ее обычной матрицей инциденции, а старую матрицу - полной матрицей инциденции.

Утверждение. – первый закон Кирхгофа.

Доказательство:

.

Путем матричного произведения получаем, очевидно, набор линейно зависимых уравнений; можно доказать, что произведение даст нам набор линейно независимых уравнений.

Отметим еще одно важное свойство матрицы . Возьмем граф, изображенный на рисунке. Цифрами обозначены ветви графа, цифрами в кружках – узлы графа. Из того, что система уравнений линейно независима, можно сделать вывод, что для решения цепи нам достаточно работать с 3 узлами. Можно построить такое выражение:

,

где - столбец разностей потенциалов на узле и на опорном узле (лишний узел, который отдельно можно не рассматривать, в нашем случае опорным будет узел 4):

Проверим записанное выше утверждение:

.

4. Матрица сечений .

Алгоритм построения матрицы:

1) чертится граф-схема;

2) выбирается дерево;

3) выбираются условно-положительные направления ветвей;

4) нумеруются сначала ветви дерева, потом хорды;

5) выбираются базовые сечения;

6) направление сечения определяется направлением образующей его ветви дерева;

Структура матрицы определяется выбором сечений. Сколько ветвей

имеет дерево, столько сечений. Выбор сечения, как и дерева, неоднозначен.

Определение: Сечение разделяет граф на 2 несвязанных подграфа, которые после объединения образуют исходный граф. Значит, мы можем выбрать сечения, проходящие не через одну, а через несколько ветвей дерева.

Сечение характеризуется направлением. Базовое (или базисное) сечение определяется направлением ветви дерева (см. рисунки справа). Базисным будем называть сечение, проходящее через любое число хорд, но только через одну ветвь дерева. В дальнейшем мы будем работать только с базисными сечениями.

В нашем примере выберем сечения так, как показано на рисунке ниже. Обозначим на этом же рисунке направление каждого из сечений. Теперь запишем матрицу сечений:

Очевидно, матрица - блочная:

,

причем - единичная, никакой информации не несет.

Свойства матрицы .

Утверждение: .

Доказательство:

- первый закон Кирхгофа.

В отличие от матрицы инциденции, в данном случае мы работаем с деревом.

Утверждение: , где - ЭДС ветвей дерева.

Доказательство:

.

7