`Лекция 8. Основные свойства

четырехполюсников.

Электрическое устройство,служащее для передачи энергии или сигналов,имеющее два входных и два выходных зажима,называется четырехполюсником (ч-п).

Могут быть пассивные ч-п и активные ч-п.

Примеры:

трансформатор

фильтр

мостовая схема

Будем рассматривать свойства ч-п при синусоидальных токах и напряжениях, имея в виду, что все положения легко обобщить на случаи периодических не синусоидальных воздействий (применяя ряд Фурье) и переходных процессов (применяя преобразование Фурье или используя комплексную частоту преобразования Лапласа). Для анализа свойств ч-п установим зависимость между входными напряжением и током (U1 и I1) и выходными (U2 и I2).

Направление токов и напряжений выберем в соответствии с передачей мощности от входа к выходу.

Рассмотрим пассивный ч-п. Составим уравнение по МКТ, обозначив собственные и общие сопротивления его контуров “ '“.

Введя обозначение ,перепишем

уравнение в виде:

Запишем решение по правилу Крамера:

Отношение имеют размерность проводимости. Вводя обозначения: ; ­ -

Уравнения принимают вид:

С учетом ,поэтому пассивный ч-п характеризуется тремя независимыми параметрами.

Величины Y определяются следующим образом: В матричной форме: .Решая систему относительно ,получим:

, где

В развернутом виде:

Определим соотношения между Z и Y. По определению:

физический смысл :

входное сопротивление при

холостом ходе на выходе

входное сопротивлении со стороны выхода при холостом ходе на входе

взаимное сопротивление между выходом и входом при холостом ходе на входе

-

взаимное сопротивление между входом и выходом при холостом ходе на выходе

В ряде случаев для практических целей удобна следующая форма записи:

Коэффициенты A,B,C,D можно получить из Z-параметров.Из второго уравнения:

Подставляя в первое уравнение для Z-параметров,получим:

Размерности A и D - безразмерные; B - сопротивление; C - проводимость;

Поскольку можно получить: AD-BC=1

Опять получили только три независимых параметра.

Всего из 4 величин по 2 можно представить 6 комбинаций.

; ;

Ничего принципиально нового не вносят.

Экспериментальное определение параметров ч-п.

В случае, если для измерения доступны только токи и напряжения входа и выхода, то для вычисления параметров необходимо знать данные двух режимов. Обычно проводят:

1. Опыт холостого хода.

2. Опыт короткого замыкания.

Для А-параметров:

-режим холостого хода

-режим короткого замыкания

При опытах холостого хода и короткого замыкания режимы (т.е. токи и напряжения) произвольны. Однако на практике по соображениям нагрузки и вероятности выхода из линейного режима выбирают:

1. В опытах х.х.

2. В опытах к.з.

Избыточную информацию можно использовать для проверки: AD-BC=1

При расчете предполагалось, что нам не составит труда измерить не только величину (амплитуду) тока и напряжение, но и фазу. Однако, это не так.

Поэтому такие измерения можно проводить только на постоянном токе или чисто в резистивных целях.

Практически измеряют входные сопротивления при х.х. и к.з. при прямом и обратном включениях.

W

V

A

4П

W

V

A

4П

Из ( с учетом изменения знака )

Запишем

выражение:

Использованы только три измерения . Четвертое - для проверки. Анологично можно выразить любые параметры.

Пример:

Дано: U_1X =100 B; U_1K =70.7 B; U_2K =56.6 B I_1X =20 A; I_1K =10 A; I_2K =10 A; P_1X =2кBт; P_1K =0.5 кBт; P_2K =320 Bт; 1K>0; 2K<0;

Определяем:

= 5 Ом;

Ом

exp(-j 45)

Пользуясь соотношением, которое нетрудно проверить: , определим

B = A Z_2K = (5-5j) j = 5+5j

C = A/Z_1X = j/5 = 0.2j

D = C Z_2X = 1

Вспомним, что для Т-образной схемы замещения

получим:

Эквивалентные схемы ч-п.

При любой записи системы уравнений мы имеем дело с тремя неизвестными параметрами,поэтому любой ч-п можно свести к изображению схемой,состоящей из трех сопротивлений.

Т-образная схема:

П-образная схема:

Х-образная схема (применяется редко,но она симметрична - и это хорошо: коаксиальный кабель )

Переход от П-образной схемы к Т-образной такой же, как от треугольника к звезде:

Для Т-образной схемы непосредственно из законов Кирхгофа следует:

,то есть

Таким образом:

Z₁₁=Z₁+Z₃; Z₁₂= -Z₂₁= -Z₃; Z₂₂= -(Z₂+Z₃)

Можно получить:

или обратно:

Для П-образной схемы (без вывода):

Существуют таблицы переходов от одних параметров к другим и соотношения для эквивалентных схем получить достаточно просто.

Соединения ч-п.

Рассмотрим четыре типа соединения ч-п. Задача состоит в отыскании параметров ч-п, полученного в результате соединения двух ч-п по заданным параметрам последних.

1.Последовательное соединение.

Признаки соединения:

U₁=U₁'+U₁'' I₁=I₁'=I₁''

U₂=U₂'+U₂'' I₂=I₂'=I₂''

Запишем уравнения в Z-параметрах:

U₁' = I₁' Z₁₁' + I₂' Z₁₂'

U₂' = I₂' Z₂₁' + I₂' Z₂₂'

(складываем)

U₁'' = I₁'' Z₁₁'' + I₂'' Z₁₂''

U₂'' = I₂'' Z₂₁'' + I₂'' Z₂₂''

U₁ = I₁ (Z₁₁' + Z₁₁'') + I₂ (Z₁₂' + Z₁₂'')

U₂ = I₂ (Z₂₁' + Z₂₁'') + I₂ (Z₂₂''+ Z₂₂'')

Отсюда:

Z₁₁=Z₁₁'+Z₁₁'' Z₁₂=Z₁₂'+Z₁₂''

Z₂₁=Z₂₁'+Z₂₁'' Z₂₂=Z₂₂'+Z₂₂''

Или в матричной форме:

[U]=[U']+[U'']={[Z']+[Z'']} (1)

Значит:

[Z]=[Z']+[Z'']

При последовательном соединении ч-п матрицы z-параметров складываются для получения матрицы z-параметров эквивалентного ч-п.

2.Параллельное соединение.

Признаки соединения

U₁=U₁'=U₁'' I₁=I₁'+I₁''

U₂=U₂'=U₂'' I₂=I₂'+I₂''

Значит:

[I]=[I']+[I'']={[Y']+[Y'']} (2)

Следовательно:

[Y]=[Y']+[Y'']

При параллельном соединении ч-п матрицы Y-параметров складываются для получения матрицы Y-параметров эквивалентного ч-п.

3. Каскадное соединение:

Признаки соединения

U₁=U₁' U₂'=U₁'' U₂=U₂''

I₁=I₁' I₂'=I₁'' I₂=I₂''

Откуда

[A]=[A'][A'']

4. Смешанное (последовательно-параллельное) соединение.

Признаки соединения

U₁=U₁'+U₁'' I₁=I₁'=I₁''

U₂=U₂'=U₂'' I₂=I₂'+I₂''

Следовательно: [H]=[H'][H'']

При смешанном соединении ч-п матрицы Н-параметров складываются для получения Н-параметров эквивалентного ч-п.

Алгоритм расчета сложных схем с использованием ч-п:

1. Разбиение сложного ч-п на простые ч-п.

2. Расчет или экспериментальное определение параметров простых ч-п.

3. Используя различные соединения ч-п, расчет параметров сложного ч-п.

4. Составление (в случае необходимости) эквивалентной схемы сложного ч-п.

Примечание: все виды соединеия ч-п можно рассматривать только,если после соединения свойства (структура и параметры) ч-п не меняются.

Например: В результате Z₃ закорачвается,и параметрами второго ч-п в результате соединения изменяются.

Для определения возможности служит понятие регулярности. Оно означает выполнение тех условий, при которых производились операции над матрицами (т.е. признаков соединений).

Регулярными называются ч-п, у которых токи в соответствующих одноименных зажимах одинаковы (существуют еще ряд других признаков).

Можно выделить признаки регулярности:

1. Каскадные соединения всегда регулярны.

2. Соединяются уравновешенные т.е. симметричные относительно “горизонтальной” оси ч-п.

3. Разорванный ч-п соединенный любым образом.

4. Ч-П соединяется с любым ч-п с индуктивной развязкой.

Разорванный ч-п:

Для него можно записать:

Z₁₁=Z₁; Z₁₂=Z₂₁=0; Z₂₂=Z₂;

H₁₁=Z₁; H₁₂=H₂₁=0; H₂₂=1/Z₂;

Например:

Примеры:

1.

U₁=AU₂+BI₂

I₁=CU₂+DI₂

U₁=U₂

I₁=U₁/Z+I₂

3.Последовательное соединение ч-п:

4.

5.